[题目]图①是一个三角形.分别连接这个三角形三边的中点得到图②.再分别连接图②中间小三角形三边的中点.得到图③.--(1)图②得到5个三角形.照这样图③得到( )个三角形,按上面的方法继续下去.图10能得( )个三角形,图n

【答案】9 37 4n－3 16

【解析】

可先直接通过图形写出三角形的个数；本题可分别写出n＝1，2，3…时所对应的三角形个数，找出有关于n的代数式；找出规律解答。

（1）图②中有5个三角形，图③中有9个三角形。

依题意n＝1时，有1个三角形；

n＝2时，有5个三角形；

n＝3时，有9个三角形；

…

所以当n＝n时有4n－3个三角形。

图10能得 4×10－3＝37个三角形；图n能得到4n－3个三角形；

（2）假设存在正整数n，使得第n个图形中有61个三角形，根据题意得：4n－3＝61

解得：n＝16

故答案为：9；37；4n－3；16