(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_试卷_(180学时)

2007级第二学期高等数学期末试题解答与评分标准（180A卷）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 若二阶连续可微函数f(x,y)在点(a,b)处取得极小值，则有 （ ）. （A）fxx(a,b)?0,fyy(a,b)?0 （B）fxx(a,b)?0,fyy(a,b)?0 （C）fxx(a,b)?0,fyy(a,b)?0 （D）fxx(a,b)?0,fyy(a,b)?0

ur2. 质点在变力F??yzi?xzj?zk作用下沿螺旋线C:x?cost,y?sint,z?t从

ur点M1?1,0,0?运动到点M2(?1,0,?)，则变力F所做的功为 （ ）.

11（A）? （B）?2 （C）?2 （D）?3

23

3. 设有向曲面?：x2?y2?(z?1)2?1(z?1)，方向为上侧，则

2??2xydydz?ydzdx?zdxdy? （ ）. ?（A）??5?2?? （B）? （C）? （D）

3333(?1)n4. 设an?，则下列级数中，绝对收敛的级数是 （ ）.

n（A）?(?1)an （B）?anan?1 （C）?(an?1?an) （D）?(an?1?an)

n?1n?1n?1n?1?n???

5. 设三角级数?bnsinnx在(0,?)内收敛到函数f(x)?1?x，则此三角级数

n?1?在x?3? 处收敛于 （ ）. （A）1+? （B）1+2? （C）1+3? （D）0

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. 设区域D?{(x,y)|(x2?y2)2?x2?y2,x,y?R}，则??xy2dxdy? .

D227. 设平面曲线C为圆x2?y2?1，则曲线积分??C2x?xy?3yds? . ??8. 微分方程(2xy?exsiny)dx?(x2?excosy)dy?0的通解为： .

urur9. 设F?yzi?2xzj?3xyk, 则div(rotF)? .

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10. 若幂级数?an(x?1)在x??3处条件收敛，则幂级数?(n?1)an?1xn的收

n?1n?1?n?敛半径R? .

三、计算下列各题（每小题8分，共16分）

11. 设u?e3xyz2，其中z?z(x,y)是由方程2x?y?3ez?xyz?0所确定的隐函

数，求

12. 解 计算积分I??1dx?1yexydy.

x21?u.

?x(0,1,?1)

四、计算下列各题（每小题10分， 共30分） 13. 计算曲线积分?x2?y2dx?[2x?yln(x?x2?y2)]dy, 其中有向曲线C：

C(x?3)2y?1?，方向从点?5,0?到点?1,0?.

4

14. 求抛物柱面y?x被平面在z?0,z?y和y?1所截部分的面积.

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15. 计算??3xdydz?ydzdx?2zdxdy，其中S是曲面z?x2?y2(0?z?2y)的下

S侧.

五、（本题8分）

(?1)n3n?12?x2n16. 求级数?()的收敛域. 22n?12?xn?0?

六、（本题8分）

??1?n的和. 17. 求级数?2nn?1?n?1?3?n 七、（本题8分）

18. 设数列{an}满足 a1?a2?1,且an?1?an?an?1(n?2,3L).

（1）证明: 当n?3时, an?2n?2;

?1（2）证明: 当x?时, 级数 ?anxn?1收敛, 并求其和函数.

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