2018年北京市高考数学理 14专题十四 不等式选讲

第十四篇：不等式选讲

解答题

1.【2018全国一卷23】已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.

（1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；

（2）若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立，求a的取值范围.

2.【2018全国二卷23】设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．

（1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若f(x)?1，求a的取值范围．

3.【2018全国三卷23】设函数f?x??2x?1?x?1．

（1）画出y?f?x?的图像；

???，f?x?≤ax?b，求a?b的最小值． （2）当x∈?0，

4.【2018江苏卷21D】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2?y2?z2的最小值．

参考答案

解答题

??2,x??1,? 1.解： （1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)??2x,?1?x?1,

?2,x?1.?故不等式f(x)?1的解集为{x|x?}．

（2）当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立． 若a?0，则当x?(0,1)时|ax?1|?1； 若a?0，|ax?1|?1的解集为0?x?综上，a的取值范围为(0,2]．

1222，所以?1，故0?a?2． aa?2x?4,x??1,?2.解：（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,

??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．

而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6][2,??)．

1??3x,x??,?2?1?3.解：（1）f(x)??x?2,??x?1,y?f(x)的图像如图所示．

2??3x,x?1.??

（2）由（1）知，y?f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a?3且b?2时，f(x)?ax?b在[0,??)成立，因此a?b的最小值为5．

4.证明：由柯西不等式，得(x2?y2?z2)(12?22?22)?(x?2y?2z)2．

因为x?2y?2z=6，所以x2?y2?z2?4， 当且仅当

xyz244??时，不等式取等号，此时x?，y?，z?， 122333所以x2?y2?z2的最小值为4．