电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答

习题解答

如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③

根据条件①和②，电位的通解应取为

由条件③，有

两边同乘以，并从0到对积分，得到

故得到槽内的电位分布 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。

题图

上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。

解 应用叠加原理，设板间的电位

y 为 其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电

boy 位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电dy oy 位，其边界条件为： ① 题 图

②

③

根据条件①和②，可设的通解为 由条件③有

两边同乘以，并从0到对积分，得到

故得到

求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。 解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度

则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷

相应的电场储能为 其边缘电容为

如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

解 根据题意，电位满足的边界条件为 ①

②

③

根据条件①和②，电位的通解应取为

由条件③，有

两边同乘以，并从0到对积分，得到

故得到槽内的电位分布为 一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密题图

度为

的电荷。求体积内的电位。

解 在体积内，电位满足泊松方程 （1）

长方体表面上，电位满足边界条件。由此设电位的通解为

代入泊松方程（1），可得

由此可得 或

（2） 由式（2），可得

故

如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。求板间的电位函数。

解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。 电位的边界条件为

①

②

③

由条件①和②，可设电位函数的通解为 题 图

由条件③，有

（1） （2） 由式（1），可得

（3） 将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有 （4） 由式（3）和（4）解得

故

如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。求槽内的电位函数。 解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个

区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面

上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度，电位的边界条件为 ① ， b ②

③

由条件①和②，可设电位函数的通解为

由条件③，有 （1）

（2） 由式（1），可得

（3）

将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有

（4） 由式（3）和（4）解得

故

若以为界将场空间分割为和两个区域，则可类似地得到

题图

如题图所示，在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场以及导体表面的感应电荷密度。 解 在外电场作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场的电位与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为（常数的值由参考点确定），而感应电荷的电位应与一样按变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以满足的边界条件为

①

②

由此可设 由条件①，有

于是得到

故圆柱外的电位为

若选择导体圆柱表面为电位参考点，即，则。

题图 导体圆柱外的电场则为

导体圆柱表面的电荷面密度为 在介电常数为的无限大的介质中，沿轴方向开一个半径为的圆柱形空腔。沿轴方向外加一均匀电场，求空腔内和空腔外的电位函数。

解 在电场的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化，则空腔内、外的电位分别为和的边界条件为 ① 时，；

② 时，为有限值； ③ 时， ，

由条件①和②，可设

带入条件③，有 ， 由此解得 ，

所以

一个半径为、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆

柱面，如题图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地， 第一象限和第三象限分别保持电位和。求圆柱面内部的电位函数。 解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 ① 为有限值；

题图