第五章 微分方程建模

?0其中K?(0)。由此不难看出，只要 ?K?0?KL ??? (16)

K0L??0。这就是说，只要初始投资的相对增长率大于劳动力的相对增长率就有Z(常数?)，就能保证劳动生产率Z(t)的不断增长。

另一方面，因为(15)式中K(t)是增加的。且t??时K(t)??，所以Z?(t)递减，且 Z?(t)?0，即Z(t)的增长率不断减少，9

Z(t)趋于常数。 第三节 万有引力定律的发现

万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重大贡献之一。牛顿在研究力学的过程中发明了微积分，又成功地在开普勒三定律的基础上运用微积分推出了万有引力定律。这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学模型之一。

历史背景: 十五世纪下半叶开始，欧洲商品经济的繁荣促进航海业的发展。哥伦布新大陆的发现、麦哲伦的环球远航，引起了社会的普遍关注。当时远洋航船的方位全靠星球的位臵来确定。在强大的社会需要推动下，天文观测的精确程度不断提高。在大量的实际观测数据面前，一直处于天文学统治地位的“地心说”开始动摇了。

波兰天文学家哥白尼(1473-1543)在天文观测的基础上，冲破宗教统治和“地心说”的束缚，提出了“日心说”。这是天文学乃至整个科学的一大革命。但是由于历史条件和科学水平的限制，哥白尼的理论还有一些缺陷。他接受了圆周运动是最完善的天体运动形式的概念，认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的。

意大利物理学家伽利略(1564-1642)不仅用观察方法证实了哥白尼的学说，而且用实验方法发现了落体定律和惯性原理，揭示了物体在不受阻挠时作匀速直线运动的规律。

德国天文学家、数学家开普勒(1571—1630)在第谷?布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上用数学方法研究发现，火星的实际位臵与按哥白尼理论计算的位臵相差8弧分。经过对观测数据长期深入的分析，开普勒终于归纳出著名的所谓行星运动三定律，即

各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上；

每颗行星运行过程中单位时间内太阳—行星向径扫过的面积是常数； 各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的3次方成正比。

在伽利略、开普勒的基础上，十七、十八世纪许多科学家致力于行星沿椭圆轨道运行时受力状况的研究。从开普勒定律可以看出，行星运行速度是变化的，而在当时尚没有计算变速运动的动力学方法。英国物理学家胡克(1635—1703)和荷兰物理学家惠更斯(1629—1695)等人虽然都取得了一些成果，但终未得到有关引力的定律。

卓越的英国物理学家、数学家牛顿(1642—1727)认为一切运动都有其力学原因，开普勒三定律的背后必定有力学定律起作用。他在研究变速运动过程中发明了微积分(当时称流数法)，又以微积分为工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上，用演绎方法得到所谓万有引力定律，于1687年汇编人《自然科学之数学原理》出版。这一发现成功地解释了许多自然现象，并为一系列观测和实验进一步证实，直到今天仍是物理学中的一条基本定律。

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下面介绍的万有引力定律的推导过程是在牛顿使用的流数法的基础上改写的。

模型假设: 开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力定律的基础，所以需要将它们表述为这个模型的假设条件。

图5-6 极坐标系中的行星轨道

点r对于任意一颗行星的椭圆运行轨道建立极坐标系(r,?)，以太阳为坐标原

??0，以椭圆长半轴方向为??0，用向径r表示行星的位臵(图5-6)。 1.轨道方程为

b2p222，p?，b?a(1?e) (1) r?a1?ecos?a、b为椭圆的长、短半轴，e为离心率。

?2.单位时间内向径r扫过的面积是常数A，即

12?r??A (2) 23.行星运行周期T满足

T2??3a (3)

其中?是绝对常数，与哪一颗行星都无关。

????和质量m的乘积，即 4.行星运行时受的作用力f等于行星加速度r???f?mr? (4)

模型建立: 首先引入基向量(见图5-6)

?向径r可表为

因为由(5)式可以算出

?????u?cos?i?sin?j ?r?? (5) ??u???sin?i?con?j???r?rur (6)

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??????ur??u? ?? (7) ???????ur??u所以由(6)、(7)式得到行星运动的速度和加速度为

???????ur?r?u? (8) r?r??2?????????)ur?(r??2r??)u? (9) r?(?r??r根据(2)式可得

?2A???4Ar? ??，?? (10)

23rr??2r??0，(9)式化为 于是(9)式右端第二项r?????2????? r?(?r??r?)ur (11)

?的结果，得到 对(1)式求导并利用(10)式?2Ae??sin? (12) rp224Ae4A(p?r) ? (13) r??2cos??3prpr将(10)和(13)代人(11)式得

?r??最后把(14)和(6)代人(4)式，我们有

?4A2pr2ur (14)

?2?4Am??r f??，r0? (15) r0rpr2??这里r0是单位向径，指示向径方向。(15)式表明，行星运行时受的力f的方向

??与它的向径方向r0相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；f的大小与

?行星质量m成正比，与太阳—行星距离r的平方成反比。f为太阳对行星的

引力。

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