第五章 微分方程建模

接触数??1是一个阈值。当??1时病人比例i(t)越来越小，最终趋于零。这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故；当??1时i(t)的增减性取决于i0的大小(见图5-2)，但其极限值

1i(?)?1?随?的增加而增加(试从?的含义给以解释)。

?S?模型可视为本模型的特例。(请读者考虑它相当于本模型中?或?取何

值的情况。)

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第二节 经济增长模型

发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资(扩大厂房、购买设备、技术革新等)，二是雇佣更多的工人，恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高。本节通过介绍一个描述生产量、劳动力和投资之间变化规律的模型，来讨论这些问题。

1.道格拉斯(Douglas)生产函数

用Q(t)、L(t)和K(t)分别表示某一地区、部门或企业在时刻t的产量、劳动力和资金，时间以年为单位。因为人们关心的是它们的增长量不是绝对量，所以定义

L(t)K(t)Q(t)iQ(t)?，iL(t)?，iK(t)? (1)

L(0)K(0)Q(0)分别为产量指数、劳动力指数和投资指数。它们的初始值(t?0)为1。在正常的经济发展过程中这3个指数都是随时间增长的，而iQ(t)的增长又取决于iL(t)和iK(t)的增长速度。但是它们之间的关系难以从机理分析得到，只能

求助于统计数据。表5-1是美国马萨诸塞州从1890年到1926年上述3个指数的数据(以1899年为t?0)。

表5-1 美国马萨诸塞州1890～1926年iK，iL，iQ的数据

t -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

iK(t) iL(t) iQ(t) t 0.95 0.96 0.99 0.96 0.93 0.86 0.82 0.92 0.92 1.00 1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 0.78 0.81 0.85 0.77 0.72 0.84 0.81 0.89 0.91 1.00 1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 0.72 0.78 0.84 0.73 0.72 0.83 0.81 0.93 0.96 1.00 1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 iK(t) iL(t) iQ(t) 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58 为了从数量关系上分析这些数据，定义新变量

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iQ(t)iL(t)?(t)?ln，?(t)?ln (2)

iK(t)iK(t)按照表中数据算出(?,?)后在?～?平面直角坐标系上作图(图5-5)，

图5-5 按照表5-1数据和(2)式得到的?～?关系

可以发现大多数点靠近一条过原点的直线，这提示应设?和?的关系为

???? (3)

且直线斜率?通常有0???1．将(2)代人(3)式得

iQ(t)再记a????iL(t)i1K(t) (4)

?Q(0)L??(0)K??1(0)，则由(1)、(4)式可以写出

Q(t)?aL?(t)K1??(t),0???1,a?0 (5)

这就是经济学中著名的Cobb—Douglas生产函数；记作Q(L,K)，它表明了

产量与劳动力和投资间的关系。

将(5)式对t求导，得

???QLK ???(1??) (6)

QLK?L?K?Q(6)式表示了年相对增长量、和之间的线性关系，显然

QLK 7

?Q?L (7)

??QL表示产量增长中取决于劳动力部分的比值，称为产量对劳动力的弹性系数。??1说明产量增长主要靠劳动力的增长；??0说明产量增长主要靠投资的增长。

2.劳动生产率增长的条件

为了进一步讨论产量随劳动力和投资的增长而增长的规律，需要对劳动力和投资的增加作出合理的假设。

①劳动力每年的相对增长率是常数?，即

???L (8) L②投资的年增长率与产量成正比，比例系数为?，即

??Q (9)

方程(8)的解为(以下用L0、K0记初始值L(0)、K(0))

L(t)?将(5)、(10)代人(9)式得

? KL0e?t (10)

? K其解K(t)满足

K定义

???t1????aL?eK (11) 0?K0(t)??a???t?L0(e?1) (12) ?Q(t) Z(t)? (13)

L(t)表示每个劳动力占有的产量；可以看作劳动生产率。下面讨论Z(t)增长的条

件。

对(13)式求导并将(6)式代人得

?L?Q??L?ZK???(1??)(?) (14) ZQLKL将(9)～(12)代入(14)式，经化简可得

?Z?0??K0)K??1K?? (15) ?(1??)(K0Z

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