二次函数背景下的相似三角形

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二次函数背景下的相似三角形

1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；

3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题； 4.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 5.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。

知识结构

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的二次函数的对称轴，可以再黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些特殊的二次函数，部分地方让学生独立完成，如果学生有困难，可以举实际例子让学生画图总结得出；3.和学生一起分析二次函数背景下相似三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。

一.二次函数知识点梳理：下图中a?0

二.特殊的二次函数：下图中a?0

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三．二次函数背景下的相似三角形考点分析：

1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点； 2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；

3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；

4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解； 5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；

6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。

【备注】： 1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思； 3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来； 4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示； 5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

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中国领先的个性化教育品牌 例1.已知：如图，直线y?x?15与x轴、y轴分别相交于点A和点B．抛物线

1y??x2?bx?c经过A、B两点。（★★★★）

3（1）求这个抛物线的解析式；

（2）若这抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C．对称轴与x轴交于点H，若点E是线段AD的中点。CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，△POH是否能够与△CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由。

【参考教法】：

一．我们来一起分析一下题目吧！有没有注意到一些特殊的条件，我们来分一下！ 1.点G有什么特点？提示：H为AC中点、E为AD中点，则G为?ACD重心； 2.A、B、C、D、E、H的坐标可以求解吗？

3.点P在运动时，位置有什么要求？提示：P在y轴的正半轴上

二．求解二次函数的解析式，有点简单，你算下。提示：二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；（让学生自己计算）；

三.当△POH与△CGH相似时：

1.两个三角形中是否有恒相等的角？提示：?GHC??POH=90； 2.是否需要分类讨论？提示：分2类讨论；

3.怎么讨论？提示：因为?GHC??POH=90，则分两个情况讨论：

①.当△POH∽△GHC时：PO:GH?HO:CH，可直接求得点P的坐标； ②.当△POH∽△CHG时：PO:CH?HO:GH，可直接求得点P的坐标。

4.怎么计算？提示：因为△POH与△CGH的边长都可以直接计算求解得出，所以相似时可以直接计算。

5.在分析的过程中，注意及时画图哦！体会数形结合的思想。

四．本题求解完了吧！你有什么感想没？

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?? 中国领先的个性化教育品牌 【满分解答】：

解：（1）直线y?x?15与x轴、y轴的交点A?15,0?和点B?0,?15?

?12???15?15b?c?0?3?b?6由已知，得?，可以解得. ??c??15?c??151∴抛物线的解析式为y??x2?16x?15.

312解：（2）抛物线的解析式可变形为y???x?9??12，

3所以顶点坐标为（9，12）. 设y?0，则?212?x?9??12?0， 3∴?x?9??36. ∴x1?3,x2?15，

所以点C的坐标为（3，0）. 因为点E是线段AD的中点，点H是线段AC的中点， ∴点G是△DAC的重心.如图，

1DH?4， 3∴HO?9，CH?6. 当△POH∽△GHC时，PO:GH?HO:CH， 即PO:4?9:6

∴GH?∴P1?0,6?. 当△POH∽△CHG时，PO:CH?HO:GH， 即PO:6?9:4， ∴PO?27?27?. ∴P2?0,?. 22??∴△POH能够与△CHG相似，相似时点P的坐标为P1?0,6?或P2?0,??27??. 2?我来试一试！

练习1.已知二次函数y?ax?2ax?3a?a?0?.（★★★★）

2（1）求此二次函数图像与x轴交点A、B（A在B的左边）的坐标；

（2）若此二次函数图像与y轴交于点C，且△AOC∽△COB（字母依次对应）. ①求a的值；

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