概率论与数理统计公式整理（超全免费版）0

概率论与数理统计 公式（全）

2012-1-1

①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A) 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 （14）?与任何事件都互斥。 独立性 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,?,Bn满足 （15）1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， 全概公式 2°则有 A??Bii?1n， P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，?，Bn及A满足 1° B1，B2，?，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i?1，（16）2，?，n， 贝叶斯公式 2° 则 A??Bii?1n，P(A)?0， ，i=1，2，?n。 jP(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)?P(B)P(A/B)jj?1n1

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此公式即为贝叶斯公式。 （i?1，2，?，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，P(Bi)，（i?1，2，?，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足 A发生或A不发生；? 每次试验只有两种可能结果， ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其（17）他次试验A发生与否是互不影响的。 伯努利这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 概型 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1?p?q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0?k?n)次的概率， Pn(k)?Cnpkqn?kk，k?0,1,2,?,n。 第二章 随机变量及其分布

设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,?)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 散型随P(X=xk)=pk，k=1,2,?， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布机变量律。有时也用分布列的形式给出： Xx1,x2,?,xk,?的分布|P(X?xk)p1,p2,?,pk,?。 律 显然分布律应满足下列条件： （1）离（1）pk?0，k?1,2,?， （2）k?1?p?k?1。 1

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F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，（2）连设对任意实数x，有 续型随F(x)?xf(x)dx???， 机变量则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 的分布密度函数具有下面4个性质： 密度 1° f(x)?0。 2° ???（3）离??f(x)dx?1。 P(X?x)?P(x?X?x?dx)?f(x)dx f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与散与连积分元续型随P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类机变量似。 的关系 1

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（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)?P(X?x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(a?X?b)?F(b)?F(a) 可以得到X落入区间(a,b]的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 0?F(x)?1, ???x???； 2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； F(x)?0， F(??)?limF(x)?1； 3° F(??)?xlim???x???4° F(x?0)?F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(X?x)?F(x)?F(x?0)。 xk?xx对于离散型随机变量，F(x)??pk； 对于连续型随机变量，F(x)??f(x)dx 。 ??（5）八0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 大分布 1