(完整版)高考复习：数列的综合运用含解析答案(教师版+学生版)

所以10(an＋1－an)(an－1)＋(an－1)2＝0， 整理得(an－1)[10(an＋1－an)＋an－1]＝0， 所以an＝1 ①或10(an＋1－an)＋an－1＝0 ②.

由①得数列{an}是各项为1的常数列，而a1＝2，不合题意．由②整理得10(an＋1－1)＝9(an－1)，

又a1－1＝1，

9

所以{an－1}是首项为1，公比为的等比数列．

109

(2)由(1)可知an－1＝()n－1，n∈N*，

1099

所以bn＝(n＋2)(an－1)＝(n＋2)()n＞0，

10109n＋1?n＋3???bn＋11091

所以＝＝(1＋)．

bn9n10n＋2?n＋2???10b8

当n＝7时，＝1，即b7＝b8；

b7bn＋1

当n＜7时，＞1，即bn＋1＞bn；

bnbn＋1

当n＞7时，＜1，即bn＋1＜bn.

bn

98

所以当n＝7或8时，bn取得最大值，最大值为b8＝b7＝7. 10

m1

?1－10t?tmt＋m

(3)由＜得t??＜0.(*) bmbm＋1?m＋29?m＋3??

由题意知，(*)式对任意m∈N*恒成立．

①当t＝0时，(*)式显然不成立，因此t＝0不合题意； 110t②当t＜0时，由－＞0可知tm＜0(m∈N*)，

m＋29?m＋3?

而当m为偶数时，tm＞0, 因此t＜0不合题意； ③当t＞0时，由tm＞0(m∈N*)知，

9?m＋3?

10t－＜0， m＋29?m＋3?1

所以t＞(m∈N*)．

10?m＋2?9?m＋3?

令h(m)＝(m∈N*)．

10?m＋2?

9?m＋4?

9?m＋3?

因为h(m＋1)－h(m)＝－

10?m＋3?10?m＋2?9

＝－＜0，

10?m＋2??m＋3?

所以h(1)＞h(2)＞h(3)＞…＞h(m－1)＞h(m)…， 6

所以h(m)的最大值为h(1)＝. 56

所以实数t的取值范围是(，＋∞)．

5

6.6 数列的综合运用(作业)

1．已知等差数列{an}的公差为－2，且a1，a3，a4成等比数列，则a20＝____－30____. 解析：设{an}的首项为a，则a，a－4，a－6成等比数列，则(a－4)2＝a(a－6)，解得a＝8.又公差d＝－2，所以a20＝a＋19d＝8＋19×(－2)＝－30.

2．设等差数列{an}的公差d≠0，a1＝4d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k的值为________． 解析：由条件知an＝a1＋(n－1)d＝4d＋(n－1)d＝(n＋3)d，即an＝(n＋3)d(n∈N*)．又a2k＝a1·a2k，所以(k＋3)2d2＝4d·(2k＋3)d，且d≠0，所以(k＋3)2＝4(2k＋3)，即k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1(舍去)．

答案：3

3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝2am，则m＝________.

a1?1－q9?a1?1－q3?

解析：设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1.由2S9＝S3＋S6得2·＝＋

1－q1－qa1?1－q6?

，所以2q9＝q3＋q6，即1＋q3＝2q6.因为a2＋a5＝2am，所以a1q＋a1q4＝2a1qm－1，即1－q

1＋q3＝2qm－2，所以m－2＝6，所以m＝8.

4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．

解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 2?1－2n?

所以由题意可得≥100，即2n≥51，

1－2而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6. 答案：6

5.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an＝________.

解析：当n≤6时，数列{an}是首项为120， 公差为－10的等差数列， an＝120－10(n－1)＝130－10n； 当n≥7时，数列{an}是以a6为首项， 3

为公比的等比数列， 4

3?n－6

又a6＝70，所以an＝70×??4?. 130－10n，n≤6，??答案：an＝??3?n－6，n≥7 70×??4??

6．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10

米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．

解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．

7.设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 013项和为________．

解析：由“凸数列”的定义，可知，b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，故数列{bn}是周期为6的周期数列，又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，故数列{bn}的前2 013项和S2 013＝b1＋b2＋b3＝1－2－3＝－4.

8．通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是________．

1解析：因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，即a＋1＜4a＋2＜9a＋3＜16a＋4＜25a＋5，所以a＞－. 9

1

因为an＞an＋1对n≥8恒成立，即an2＋n＞a(n＋1)2＋(n＋1)，所以a＜－.因为2n

2n＋11111

＋1≥17，所以－≥－.要使得a＜－对n≥8恒成立，则a<－. 17172n＋12n＋1

11

综上，－＜a＜－. 91711

答案：(－，－)

917

9．将正偶数排列如下表，其中第i行第j个数表示为aij(i，j∈N*)，例如a43＝18，若aij

＝2 014，则i＋j________.

14

8

4 16

2 10 …

6 18

12

20