高中数学 2.2 1直接证明综合法教案 新人教A版选修2-2

教学目标：

1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2.了解分综合法的思考过程、特点。 教学重点：了解综合法的思考过程、特点 教学难点：综合法的思考过程、特点

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(b?c)?b(c?a)?4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为b?c?2bc,a?0, 所以a(b?c)?2abc, 因为c?a?2ac,b?0, 所以b(c?a)?2abc.

因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.

综合法：利用 已知条件 和某些数学 定义 、 定理 、 公理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。

说明：（1）综合法是“由因到果”，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法，因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法；

（2）综合法的格式------从已知条件出发，推证，由“已知”得“推知”，逐步推出求证的结论，P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

2222222222222222?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

它的常见书面表达是“?,?”或“?”。

例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等

比数列,求证△ABC为等边三角形.

分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =?； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是b?ac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=?． ⑧ 由①② ，得B=

2?. 32由a, b，c成等比数列，有b?ac. 由余弦定理及③，可得

b2?a2?c2?2accosB?a2?c2?ac.

再由④，得a?c?ac?ac.

22(a?c)2?0,

因此a?c. 从而A=C. 由②③⑤，得 A=B=C=

?. 3所以△ABC为等边三角形．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

说明：（1）在利用综合法证明问题时，要选择一个适合的切入点，其依据是所选式子是否与已知条件或公理、定理有比较密切的关系或形式上非常接近。

（2）综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提要正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。

课堂练习答案：

1. 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

证明：∵b?c≥2bc,a＞0, ∴a(b?c)≥2abc ① 同理 b(c?a)≥2abc ②

222222c(a2?b2)≥2abc ③

因为a，b，c不全相等，所以b?c≥2bc, c?a≥2ca, a?b≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号 222222∴a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc 注意：

A、对于“①、②、③三式也不能全取“=”号”一定要给出，否则结论应为

222222a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc；

B、要提问学生“a，b，c是的正数”的含义。这是一个重要的条件，“不全相等”与“全不相等”不一样，如全（都）不相等，则三个不等式中都没有“=”号。

222222a?blga?lgb?; 22a?b证明：当a,b?0时，有?ab;

2a?b上式两端取对数，得lg?lgab;

2a?b1lga?lgb从而lg?lg(ab)?;

222 2.如果a,b?0,则lg 3．求证：对于任意角?，cos??sin??cos2?。

证明：因为cos??sin??(cos??sin?)(cos??sin?)?cos2? 所以，命题得证 小结：

1．综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。

2．在利用综合法证明问题时，要选择一个适合的切入点，其依据是所选式子是否与已知条件或公理、定理有比较密切的关系或形式上非常接近。

44222244 3．综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提要正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。 课外作业答案：

1．如果数列?an?是等差数列，则（ ）。

（A）a1?a8?a4?a5 （B） a1?a8?a4?a5 （C）a1?a8?a4?a5 （a1a8?a4a5

D）

解析：由等差数列的性质：若m+n=p+q 则am?an?ap?aq可知应填（B）。 2．在△ABC中若b=2asinB则A等于( )

(A)30或60 (B)45或60 (C)60或120 (D)30或150 解析：由正弦定理得sinB=2sinAsinB?sinA=

000000001。 ?A=300或1500故应选（D）

23．求证：(1)a2?b2?3?ab?3(a?b);

证明：∵a2?b2?2ab,a2?3?23a,b2?3?23b ;将此三式相加得 2(a2?b2?3)?2ab?23a?23b,∴a2?b2?3?ab?3(a?b) 4． 若a?0,b?0,求证：a?b?1?22. ab?2ab?1ab?22.

证明：当a?0,b?0时,a?b?1ab思考：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证解析∵ a，b，c全不相等

∴ b与a，c与a，c与b全不相等。

abacbcb?c?aa?c?ba?b?c???3 abcbacacb∴ ??2，??2，??2

abacbc三式相加得??????6 ∴ (?baccaab?1)?(??1)?(??1)?3 abbccbcbacacbabacbc即 b?c?a?a?c?b?a?b?c?3

a3．已知{an}是等比数列，an?0，且a4a6?2a5a7?a6a8?36，则a5?a7= C