古塔变形分析

古塔变形的分析

摘要：

文物部门需要适时的对古塔进行观测，了解各种变形量，以制订必要的保护措施。 附件1给出了对古塔的四次测量数据，是每层八个测量点的三个坐标值，但1986年和1996年对塔的第13层的测量点5的数据值是缺失的，为了对塔的变形进行准确的分析研究，我们首先应用MATLAB7.0工具箱的数据拟合功能，取1986年和1996年每层观测点5的测量数据x和y坐标值，用这些已知数据值对第13层的测量点5的x和y坐标值进行二次曲线拟合，假设塔的每层高度是相同的，用第13层的z的平均值来预测点5的z坐标，则1986年和1996年第13层点5的坐标分别是x=567.992，y=519.727，z=52.83429和x=567.992，y=519.737，z=52.83

对所给测量点坐标应用MATLAB7.0做3维线图，直观看出测量点在每层为均匀分布的8个点，各层为正八边形，且随着楼层的增高每层边长逐渐减小，可以推测该古塔为上小下大的八角塔。进一步通过对测量得到的各层的相邻两点间的坐标值应用空间两点间的距离公式：d?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2计算边长，每层边长近似相等，可以进一步看出该古塔是一个八角形塔。

对第一问：因为该塔是一个正八边形塔，对于中心坐标我们认为是每层的中心，就是该层的坐标中心位置，我们取各层8个测量点坐标的平均值作为该层的平均值，并计算出了该塔每层的中心坐标。

对第二问：以第一层中心坐标为起始点向上一层的中心坐标做向量计算各向量与X 、Y 、Z 轴的夹角来判断古塔的倾斜、弯曲、扭曲，根据4次各层中心向量与X、Y 、Z 轴的夹角的变化我们得出1986和1996年塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况不明显，2009和2011年情况基本相同，但是在第5层到第7层发生扭曲，第8到11层发生弯曲、扭曲，第12到13层发生倾斜，最后倾向于X轴。

对于第三问：由第二问的分析情况可以得出该塔发生扭曲、弯曲、倾斜等情况，所以该塔会随着时间的推移第12到13层会发生倾倒。

关键词：曲线拟合；空间两点间距离公式；空间物体几何中心；MATLAB7.0；空间向量方向角

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一、问题的重述

某古塔已有上千年的历史，是我国的重点保护文物。由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响、古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月、2011年3月对该塔进行了4此观测。文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

希望根据附件一提供的4次观测数据讨论以下问题：

1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。

二、模型准备

（1）测量缺失值的预测

由于1986年和1996年第13层测量点5的测量坐标值缺失，为了方便研究首先对缺失值进行预测。

把测量点5作为观测点，取第1层到第12层的观测点5的横坐标x的测量值为观测数据，应用MATLAB7.0工具箱的曲线预测功能，对1986年第13层测量点5缺失值的横坐标进行预测，输出下结果： Linear model Poly2:

f(x) = p1*x^2 + p2*x + p3

Coefficients (with 95% confidence bounds):

p1 = -0.005984 (-0.006677, -0.00529) p2 = 0.08906 (0.07979, 0.09832) p3 = 567.8 (567.8, 567.9) Goodness of fit: SSE: 0.001129 R-square: 0.9832

Adjusted R-square: 0.9794 RMSE: 0.0112

即预测方程：f(x) = -0.005984*x^2 + 0.08906*x + 567.8 从而可预测出第13层测量点5的横坐标x=567.992 对纵坐标y的预测，输出结果： Linear model Poly2:

f(x) = p1*x^2 + p2*x + p3

Coefficients (with 95% confidence bounds):

p1 = 0.005767 (0.002656, 0.008877) p2 = 0.1125 (0.07092, 0.154)

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p3 = 517.3 (517.2, 517.4) Goodness of fit: SSE: 0.02271 R-square: 0.9955

Adjusted R-square: 0.9945 RMSE: 0.05023

可得纵坐标y的预测方程：f(x) = 0.005767*x^2 + 0.1125*x + 517.3， 从而可预测出第13层测量点5的纵坐标y=519.727

图1： 1986年第13层测量点5的横坐标x的拟合曲线

图2:1986年第13层测量点5的纵坐标y的拟合曲线

对

缺失值竖坐标z的预测，由于z表示层高，则用该层其它7个测量点高度的平均值来确定：z=52.83429

即1986年第13层观测点5的坐标为：x=567.992，y=519.727，z=52.83429

同样的方法对1996年第13层测量坐标的缺失值进行预测，得到预测曲线方程如下： f(x) = -0.005983*x^2 +0.08906*x + 567.8 - ——x的预测曲线 f(x) = 0.005767*x^2 +0.1125*x + 517.3 ——y的预测曲线 则1996年第13层观测点5的坐标：x=567.992，y=519.737，z=52.83

图3： 1996年第13层测量点5的横坐标x的拟合曲线

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图4： 1996年第13层测量点5的纵坐标y的拟合曲线

（2）古塔形状的推测

为了确定古塔的形状，由附件1提供的4次测量点的坐标数据，用MATLAB7.0做出古塔的3维线图如下：

图5

1986年古塔测量坐标3维线图

605040z3020100530525570520y515560565x575

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