“数形结合思想”专题及专项训练1

情形1：?

?a > 0

=> a > 1 ?a > 1

情形2：?

?a < 0

?a < - 1

=> a < - 1 选D

点评：有些数学问题所对应的图形是不唯一的，必须根据不同情况准确作图，再进行讨论求解。 二、“数”与“形”转化的等价性

2

【例3】若关于x的方程x + 2kx + 3k = 0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围。 误解：令f (x) = x + 2kx + 3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f (x) = 0的解。

2

由y = f (x)的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需

?f(?1)?0?，∴k∈(- 1,0]?[3,??) ?f(3)?0?4k2?12k?0?错因分析：所列不等式组与满足条件的图象不等价。比如下图，满足此不等式组，但不满足方程根的分布情况。

(-1) > 0?ff (3) > 0

正解：由图象列出满足条件的不等式组为 ?，∴k∈(- 1，0].

- 1 < - k < 3?4k - 12k≥0

2

点评：此类题存在着两个等价转化：一是将方程根的分布情况转化为抛物线与x轴的交点情况，进而画出函数草图；二是由草图列出与之等价的不等式组。 五、规律总结

数形结合的思想，就是把问题的数量关系和几何图形结合起来的思想方法，即根据解决问题的需要，

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可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（即“以形助数”）；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（即“以数助形”）。

1.数形结合思想解决的问题常有以下几种：

（1）函数与方程、函数与不等式的内在联系①构建函数模型并结合其图象求参数的范围；②构建函数模型并结合其图象研究方程根的个数；③构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系。

（2）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究代数式的取值范围问题。 （3）研究几何图形的形状、形状、图形间的位置关系。

2.“以形助数”常用的有：借助数轴；借助函数图象、借助单位；借助数式的结构特征；借助解析几何方法。

3.“以数助形”常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。 六、能力突破

华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

【例1】设A={x|?2?x?a}，B={y|y?2x?3,x?A}，C={z|z?x2,x?A}，若C?B，求实数a的取值范围。

分析：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C，进而用不等式将C?B这一集合语言加以转化。

解：∵y=2x＋3在[－2，a]上是增函数，∴B={y|?1?y?2a?3}。 作出函数z=x的图象，其定义域右端点x=a有三种不同的位置关系：

2

①当?2?a?0时，如图1，a?z?4，即｛z|a?z?4｝。

221，与?2?a?0矛盾。 2②当0?a?2时，如图2，0?z?4，即｛z|0?z?4｝.

要使C?B，必须且只需2a?3?4，解得a?要使C?B，必须且只需??2a?3?41，解得?a?2。

2?0?a?222③当a?2时，如图3，0?z?a，即｛z|0?z?a｝。

?a2?2a?3要使C?B，必须且只需?，解得2?a?3。

?a?2④当a＜－2时，A=?，此时B=C=?，C?B成立。 综上所述，a的取值范围是(??,?2)?[,3]。

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12反思：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决。

对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，借助图象的直观形象，达到解决问题的目的。

【例2】已知实数x、y满足x＋y=3（y?0），求（1）m?2

2

y?1，（2）b=2x+y的取值范围。 x?3分析：m可以看作过两点的斜率，而b是直线的截距。

解：（1）将m看作半圆x＋y=3（y?0）上的点M（x，y）和定点A（－3，－1）的直线的斜率。 由图1可知，k1?m?k2（k1、k2分别表示直线AM1、AM2的斜率）， 且k1?2

2

13?3。 ?63?3|3k2?1|k22?1?3,k2?3?21。 6直线AM2的方程是k2x?y?3k2?1?0，有所以，

3?33?21。 ?m?66

（2）将b看作斜率为－2，过半圆x＋y=3（y?0）上的点P（x，y）的直线在y轴上的截距。 由图2 可知，n1?m?n2（n1、n2分别表示直线BP1、CP2的截距）。 直线BP1的方程是y??2(x?3)，则n1= ?23。 设直线BP2的方程是2x＋y＋c=0，有2

2

|c|?3,c??15,n2?15。 5所以，?23?b?15。

反思：根据所给代数式的特点，由解析几何中的斜率、截距、距离的概念研究最值问题，是数形结合思想的一个重要体现。

形如2x+y的代数式求最值，如果限制条件表示的是几何区域或曲线，常借助直线截距来求；而形如

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y?1的代数式，根据其几何意义为斜率求解。 x?3从上面所举的两个例子中可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合，从而寻找到解题思路，使问题得到解决。

七、高考风向标

数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，历年来一直是高考考查的重点之一，主要涉及： 集合及其运算问题——韦恩图与数轴；

用函数图象解决有关问题（如方程、不等式等）； 运用向量解决有关问题； 三角函数图象及其应用；

数学概念及数学表达式几何意义的应用； 解析几何中的数形结合。

灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

【例2】（08年高考浙江卷理5文7）在同一平面直角坐标系中，函数y?cos(图象和直线y?

x3??)(x?[0，2?])的221

的交点个数是（ ） 2

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 解析：C y?cos(?x213?x)?sin,(x?[0，2?]),图象如图所示，直线y?与该函数图象有两个交点。

222

点评：本题考查了诱导公式以及三角函数的图象等知识，考查学生的数形结合的能力。

在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。

另一方面，用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法。如：

（08年高考湖北卷文13）方程2?x?x2?3的实数解的个数为 。

5、（08黄冈模拟）若对任意x?R，不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．a??1 B．a≤1 C．a?1

D．a≥1

6、已知复数z满足|z?2?2i|?2，则|z|的最大值为（ ） A. 2 B.22 C.32 D.42 九、实战演习

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