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三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结 1．O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;
S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3故
若O是?ABC的重心，则
????????????????PG?1(PA?PB?PC)32．O是?ABC的垂心?OA?OB?OC?0;
?G为?ABC的重心.
OA?OB?OB?OC?OC?OA;
?tanA：tanB：tanC
若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0
2223．O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC若O是?ABC的外心则S?BOC：S?AOC：S?AOB)
?sin?BOC：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C
0
?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?4．O
是内心?ABC的充要条件是
OA?(AB|AB|
,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是?ABC内心的充要条件引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC可以写成
OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0 ，O
是?ABC内心的充要条件也可以是
aOA?bOB?cOC?0 。若O是?ABC的内心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c
故
aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0;
A ?????????????????????????|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P是?ABC的内心;
????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直向量?(???|AB||AC|线)；
e1B P e2C 范 例 (一)将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPP点的轨迹一定通过?ABC的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
?OA??(ABAB?ACAC)，???0,???则
解析：因为ABAB????????????是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2， 又OP?OA?AP，则原
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式可化为
AP??(e1?e2)，由菱形的基本性质知AP平分?BAC，那么在?ABC中，AP平分?BAC，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H是△ABC所在平面内任一点，HA?HB?HB?HC?HC?HA?点H是△ABC的垂心. 由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC, 同理HC?AB，HA?BC.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?A．外心 解析:由PA?PB?B．内心
PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（D
D．垂心
）
C．重心
PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0
BC,PC?AB 所以P为?ABC的垂心. 故选D.
则PB?CA,同理PA? (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G是△ABC所在平面内一点，GA?GB?GC=0?点G是△ABC的重心. 证明 作图如右，图中GB?GC?GE
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC?BGCE为平行四边形?D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将GB?GC?GE代入GA?GB?GC=0，
得GA?EG=0?GA??GE??2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?1(PA?PB?PC). 3证明 PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心 ∴GA?GB?GC=0?AG?BG?CG=0，即3PG?PA?PB?PC 由此可得PG?1） (PA?PB?PC).（反之亦然（证略）
3 ）
?????????????例6 若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC?0 ，则O 是?ABC 的（
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
?????????????????????????????????????解析：由OA?OB?OC?0得OB?OC??OA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OB?OC?OD，由
????1????平行四边形性质知OE?OD，OA?2OE2(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
????????????例7若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC
，则O 是?ABC 的（ ）
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A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知O到?ABC的三顶点距离相等。故O 是?ABC 的外心 ，选B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1， 求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明 由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=? 同理 OP2·OP3=OP3·OP1=?1， 21， 2 ∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|. 即O是△ABC所在平面内一点，
OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|?点O是正△P1P2P3的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
x1x?x2y2xyx,0)、E(1,)、F(2,2) 由题设可设Q（1,y3)、H(x2,y4), 222222?????????xx1?x2y2xyy G(,)?AH?(x2,y4)，QF?(2?1,2?y3)
33222????BC?(x2?x1,y2) ?????????F ?AH?BC??????????AH?BC?x2(x2?x1)?y2y4?0 D（C(x2,y2) H G Q E x2(x2?x1)y2??????????QF?AC?????????xxy?QF?AC?x2(2?1)?y2(2?y3)?0
222x(x?x1)y2?y3?22?2y22?y4??x B(x1,0) A D ?????x2x?x13x2(x2?x1)y2?QH?(x2?1,y4?y3)?（2,??)
222y22????x?xxy2x?x1y2x2(x2?x1)y21?QG?(2?1,2?y3)?（2,??)323632y222x2?x13x2(x2?x1)y212x?x13x2(x2?x1)y2,??)?(2,??) 66y26322y22?1???? =QH3 ?(
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?????????即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 OH?OA?OB?OC. 证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴AD?AB，CD?BC.又垂心为H，AH?BC，CH?AB， ∴AH∥CD，CH∥AD， ∴四边形AHCD为平行四边形，
∴AH?DC?DO?OC，故OH?OA?AH?OA?OB?OC.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 OG?证明 按重心定理 G是△ABC的重心?OG?
1OH 31(OA?OB?OC) 31OH. 3按垂心定理 OH?OA?OB?OC 由此可得 OG?补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
111OP= (OA+OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
322A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点 1. B取AB边的中点M，则OA?OB?2OM，由OP=
????????????????????????????????????????2222222．在同一个平面上有?ABC及一点Ｏ满足关系式： OA＋BC＝OB＋CA＝OC＋AB，则Ｏ为?ABC3的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
∴MP?2MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.
111 (OA+OB+2OC)可得3OP?3OM?2MC，322????????????PA?PB?PC?0，则
P为
?ABC的
OP?OA??(AB?AC)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
C ）
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