浙江省宁波市九校联考2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(解析版)

则P（A）=1﹣[（）2+（）2+（）2]=

．

（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4， P（X=0）=

=，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

P（X=4）==，

∴X的分布列为： X 0 P EX=

1 =

2 ．

3 4 18．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，g（x）=

．

（Ⅰ）求g（x）的值域（用t表示）；

（Ⅱ）当t变化时，平行于x轴的一条直线与y=|f（x）|的图象恰有三个交点，该直线与y=g（x）的图象的交点横坐标的取值集合为M，求M． 【考点】二次函数的性质；函数的值域． 【分析】（Ⅰ）求出t的范围，根据基本不等式的性质求出g（x）的值域即可； （Ⅱ）求出t=

，得到

＞﹣1，解不等式即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点， ∴△=4（1+t）＞0，解得：t＞﹣1， g（x）=

=（x﹣1）+

+2，

∵|（x﹣1）+|=|x﹣1|+≥2，当且仅当x=1±时取“=”，

∴（x﹣1）+≤﹣2或（x﹣1）+≥2，

∴g（x）≤2﹣2或g（x）≥2+2， 即g（x）的值域是（﹣∞，2﹣2]∪[2﹣2，+∞）； （Ⅱ）当x=1时，f（x）取最小值﹣t﹣1，

由|f（x）|的图象得，平行x轴的直线y=x+1与函数y=|f（x）|的图象恰有三个交点， 由

=t+1得，（x﹣2）t=x2﹣x+1，显然x≠2，

∴t=

由于t＞﹣1， ∴

，

＞﹣1，即＞0，

解得：﹣1＜x＜1或x＞2，

∴M=（﹣1，1）∪（2，+∞）．

19．定义：若两个二次曲线的离心率相等，则称这两个二次曲线相似．如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，右顶点为A，以其短轴的两个端点B1，B2及其一个焦点为顶点

M是C上异于B1，B2的一个动点，的三角形是边长为6的正三角形，△MB1B2的重心为G，

G点的轨迹记为C1． （Ⅰ）（i）求C的方程； （ii）求证：C1与C相似；

（Ⅱ）过B1点任作一直线，自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P，Q，R，S，求

的取值范围．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）（i）设C的方程： +=1（a＞b＞0），则，求出a，b，即

可求C的方程；

（ii）求出轨迹C1，可得离心率相等，即可证明C1与C相似； （Ⅱ）设直线方程为y=kx﹣3（k＞0），代入椭圆方程，求出相应线段的长，可得

=

构造函数，利用导数确定函数的单调性，即可确

定的取值范围．

【解答】（Ⅰ）（i）解：设C的方程： +=1（a＞b＞0），则，

∴a=6，b=3， ∴C的方程：

=1；

（ii）证明：设G（x，y），M（x0，y）（x0≠0），则x0=3x，y0=3y 把点M（3x，3y）的坐标代入C的方程，得轨迹C1的方程为

=1（x≠0），

，e1=

，

∴轨迹C1也为椭圆（除去（0，﹣1），（0，1）两点），求得a1=2，c1=∵C的离心率e=∴e1=e，

∴C1与C相似；

，

x2﹣24kx=0，（Ⅱ）解：设直线方程为y=kx﹣3（k＞0），代入C的方程得（1+4k2）∴xS=yS=

，

，

∴=，

，

代入C1的方程得（1+4k2）x2﹣24kx+32=0，由k＞0，△＞0得k＞由韦达定理得xP+xR=∴|PR|2=（1+k2）[

，xPxR=﹣

，

]．

∵|AQ|=6﹣=，

∴=

令f（k）=（k）

则f′（k）=?∴f（k）在（∴

，+∞）上是减函数， ）=

＜0

∴0＜

＜．

20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x，其中a∈R，f（x）的导函数是f′（x）． （Ⅰ）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）在曲线y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），使得直线AB的斜率k=f′（

）？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理

由．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求导数

，讨论a的符号，这样便可判断导数的

符号，从而可判断每种情况是否存在极值，若存在便可求出该极值；

（Ⅱ）先根据条件求出斜率，而可得到

，这样便可根据条件得出

，然后换元

，并设x1＞x2，t＞1，从而得出

；求导数并可判断导数符号g′（t）＞0，从