2020年中考数学基础题型提分讲练专题23以圆为背景的证明与计算

专题23 以圆为背景的证明与计算

考点分析

【例1】（2019·广东中考模拟）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．

（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；

（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=3 ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°． 【解析】

（1）如图1，∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA=90°， ∴∠DEA=∠ABC， ∴BC∥DF， ∴∠F=∠PBC，

∵四边形BCDF是圆内接四边形， ∴∠F+∠DCB=180°， ∵∠PCB+∠DCB=180°， ∴∠F=∠PCB， ∴∠PBC=∠PCB， ∴PC=PB；

（2）如图2，连接OD，

∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥DC， ∵BC∥DE，

∴四边形DHBC是平行四边形， ∴BC=DH=1，

在Rt△ABC中，AB=3，tan∠ACB=∴∠ACB=60°， ∴BC=

AB?3， BC1AC=OD， 2∴DH=OD，

在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°， ∴∠ODH=20°， 设DE交AC于N， ∵BC∥DE，

∴∠ONH=∠ACB=60°，

∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°， ∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°， ∵OA=OD，

∴∠OAD=

1∠DOC=20°， 2∴∠CBD=∠OAD=20°， ∵BC∥DE，

∴∠BDE=∠CBD=20°． 【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键.

【例2】 （2019·湖南中考真题）如图，点A、B、C在半径为8的eO上，过点B作BD//AC，交OA延长线于点D．连接BC，且?BCA??OAC?30?． （1）求证：BD是eO的切线； （2）求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）323?【解析】

32?. 3（1）证明：连接OB，交CA于E，

∵?C?30?，?C?∴?BOA?60?，

1?BOA， 2∵?BCA??OAC?30?， ∴?AEO?90?，

即OB?AC， ∵BD∕∕AC，

∴?DBE??AEO?90?， ∴BD是eO的切线； （2）解：∵∵

，

，∴?D??CAO?30?，

∴BD?3OB?83，

∴S阴影?S?BDO?S扇形AOB【点睛】

160???8232?． ??8?83??323?23603本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中． 考点集训

1．（2019·辽宁中考真题）如图，在?ABC中，?ACB?90?，CA?CB，点O在?ABC的内部，eO经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作YGDEC．

（1）判断DE与eO的位置关系，并说明理由．

?的长． ?的中点，eO的半径为2，求BC（2）若点B是DBC3?的长??． 【答案】（1）DE是eO的切线；理由见解析；（2）BC2【解析】

（1）DE是eO的切线； 理由：连接OD，

Q?ACB?90?，CA?CB，