大一高数复习资料

使得f???cos??f????sin??0成立 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令??x??f?x?sinx 显然函数??x?在闭区间?0,??上连续，

在开区间?0,??上可导； 2．又∵??0??f?0?sin0?0

?????f???sin??0

化简得ln?1?x??∴f?????1x，又∵???0,x?， 1??1?1，∴ln?1?x??1?x?x， 1??即??0???????0

3．∴由罗尔定理知

????0,??，使得f???cos??f????sin??0成立

○拉格朗日中值定理（★）

ex?e?x 【题型示例】证明不等式：当x?1时，

【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数f?x??ex，则

对?x?1，显然函数f?x?在闭区间?1,x?上连续，在开区间?1,x?上可导，并且f??x??ex；

2．由拉格朗日中值定理可得，????1,x?使得等式ex?e1??x?1?e?成立，

又∵e??e1，∴ex?e1??x?1?e1?e?x?e， 化简得e?e?x，即证得：当x?1时，ex?e?x

【题型示例】证明不等式：当x?0时，ln?1?x??x 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数f?x??ln?1?x?，

x即证得：当x?1时，ex?e?x

第二节 罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）

1．☆等价无穷小的替换（以简化运算） 2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A．属于两大基本不定型（,f?x?f??x? lim?limx?ag?x?x?ag??x?0?）且0?满足条件， 则进行运算：

（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）

⑴0??型（转乘为除，构造分式）

x??lnx 【题型示例】求值：limx?0【求解示例】

解：limx??lnx?limx?0lnx?limx?01L?x?0?1??x??x???lnx??????1x?limx?0??x??1?2?x

1??limx??0ax?0则对?x?0，函数f?x?在闭区间?0,x?上连续，在开区间?0,??上可导，并且

f??x??1； 1?xx???lnx??0，其中?,??R） （一般地，limx?0?

⑵???型（通分构造分式，观察分母）

?【题型示例】求值：lim?x?011??? ?sinxx?2．由拉格朗日中值定理可得，????0,x?使

?x??l得等式ln?1?n?1??01?x?1??0?成

【求解示例】

1??1?x?sinx??x?sinx? 解：lim????lim??lim???x?0sinxx?x?0?x?sinx?x?0?x2??立，

高等数学期末复习资料 第5页（共12页）

?limL?x?000?x?sinx???x??21?cosx?lim?limx?02xL?x?000?1?cosx???2x??sinx?lim?0x?02?1?解：令y????x?tanx?1?,两边取对数得lny?tanx?ln??,?x? ⑶0型（对数求极限法）

xx 【题型示例】求值：limx?00【求解示例】

解：设y?xx,两边取对数得：lny?lnxx?xlnx???lnx1x??1??对lny求x?0时的极限，limlny?lim?tanx?ln???x?0x?0?x???1???lnx???limxlnx???lim??lim2x?0?x?01?L?x?0secx?1?????2??tanx?tanx??tanx?sin2x???sinx2sinx?cosx?lim?lim?lim?0,x?0x?0xL?x?0x?1200

lnx???lnx对对数取x?0时的极限：lim?lny??lim?limx?0x?01L?x?0?1????x?x?1limlny?limx??limx?0，从而有limy?limelny?ex?0?e0?1x?0x?0x?0x?01?2x从而可得limy=limelny?ex?0x?0x?0limlny?e0?1 ⑷1?型（对数求极限法） 【题型示例】求值：lim?cosx?sinx?

x?01x【求解示例】

解：令y??cosx?sinx?x,两边取对数得lny?ln?cosx?sinx?,xln?cosx?sinx?对lny求x?0时的极限，limlny?limx?0x?0x0?0ln?cosx?sinx???cosx?sinx1?0???lim?lim??1,从而可得L?x?0x?0cosx?sinx1?0??x?1limy=limelny?ex?0x?0x?0limlny?e1?e

⑸?0型（对数求极限法）

1?【题型示例】求值：lim???x?0x??tanx

【求解示例】

○运用罗比达法则进行极限运算的基

本思路（★★）

0?00??0(2)(1)(3)?????????0??????1

???0??⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）

⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）

⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸

性

○连续函数单调性（单调区间）（★★★）

【题型示例】试确定函数

f?x??2x3?9x2?12x?3的单调区间

【求解示例】

1．∵函数f?x?在其定义域R上连续，且可导

∴f??x??6x2?18x?12

2．令f??x??6?x?1，解得：??x?2??0x1?1,x2?2 3．（三行表）

高等数学期末复习资料 第6页（共12页）

x f??x? f?x? ???,1? ? 1 ?1,2? ? 2 ?2,??? ? 0 0 极小? ? ? 值 4．∴函数f?x?的单调递增区间为???,1?,?2,???；

单调递减区间为?1,2?

【题型示例】证明：当x?0时，e?x?1 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设??x??ex?x?1，

x极大值 1 (1,3) 5 4．⑴函数y?1?3x2?x3单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(??,0),(2,??)；

⑵函数y?1?3x2?x3的极小值在x?0时取到，为f?0??1，

y 极大值在x?2时取到，为f?2??5； ⑶函数y?1?3x2?x3在区间

(??,,0(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,??)上凸；

⑷函数y?1?3x2?x3的拐点坐标为?1,3?

第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系（★★★） ⑴设函数f?x?的定义域为D，如果?xM的某个邻域U?x，使得对DM???x?U?xM?，都适合不等式

?（x?0）

2．???x??ex?1?0，（x?0）

∴??x????0??0

3．既证：当x?0时，ex?x?1

【题型示例】证明：当x?0时，ln?1?x??x 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设??x??ln?1?x??x，（x?0）

1?1?0，（x?0） 1?x ∴??x????0??0

f?x??f?xM?，

2．???x??我们则称函数f?x?在点??xM,f?xM???处有极大值f?xM?；

令xM??xM1,xM2,xM3,...,xMn? 则函数f?x?在闭区间?a,b?上的最大值M满足：

M?max?f?a?,xM1,xM2,xM3,...,xMn,f?b??；⑵设函数f?x?的定义域为D，如果?xm的某个邻域U?x，使得对Dm???x?U?mx?，都适合不等式

?3．既证：当x?0时，ln?1?x??x

○连续函数凹凸性（★★★）

【题型示例】试讨论函数y?1?3x2?x3的单

调性、极值、凹凸性及拐点

【证明示例】

2??y???3x?6x??3x?x?2? 1．? ??y????6x?6??6?x?1???x1?0,x2?2?y???3x?x?2??0 2．令?解得：?

x?1??y??6x?1?0?????f?x??f?xm?，

我们则称函数f?x?在点??xm,f?xm???处有极小值f?xm?；

令xm??xm1,xm2,xm3,...,xmn? 则函数f?x?在闭区间?a,b?上的最小

值m满足：

m?min?f?a?,xm1,xm2,xm3,...,xmn,f?b??；

3．（四行表）

x (??,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,??) y? 0 ? ? ? ? 0 y?? ? ? ? ? 高等数学期末复习资料 第7页（共12页）

【题型示例】求函数f?x??3x?x3在??1,3?上的最值

【求解示例】

1．∵函数f?x?在其定义域??1,3?上连续，且可导

∴f??x???3x2?3

2．令f??x???3?x?1??x?1??0， 解得：x1??1,x2?1 3．（三行表） ?1,3? x ?1 ??1,1? 1 f??x? 0 0 ? ? 极小极大f?x? ? ? 值 值 4．又∵f??1???2,f?1??2,f?3???18 ∴f?x?max?f?1??2,f?x?min?f?3???18 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）

第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：

假设在定义区间I上，可导函数

即当自变量x?IF?x?的导函数为F??x?，时，有F??x??f?x?或dF?x??f?x??dx成

立，则称F?x?为f?x?的一个原函数 ⑵原函数存在定理：（★★）

如果函数f?x?在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数F?x?使得F??x??f?x?，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）

在定义区间I上，函数f?x?的带有任意常数项C的原函数称为f?x?在定义区间I上的不定积分，即表示为：

?f?x?dx?F?x??C

（?称为积分号，f?x?称为被积函数，

f?x?dx称为积分表达式，x则称为积分

变量）

○基本积分表（★★★）

○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★） ?k1f?x??k2g?x???dx?k1?f?x?dx?k2?g?x?dx ??第二节 换元积分法 ○第一类换元法（凑微分）（★★★） （dy?f??x??dx的逆向应用） ???x???????x?dx??f????x????d????x??? ?f?【题型示例】求?【求解示例】

1解：?a2?x2dx??1?x?1????a?dx?21a?x?x?1d?arctan?C?2?a?x??a?a1????a?11dx a2?x2【题型示例】求?【求解示例】

解：?1dx 2x?11111dx??d?2x?1???d?2x?1? 22x?12x?122x?1?2x?1?C ○第二类换元法（去根式）（★★） （dy?f??x??dx的正向应用） ⑴对于一次根式（a?0,b?R）：

t2?b， ax?b：令t?ax?b，于是x?a则原式可化为t

⑵对于根号下平方和的形式（a?0）：

??， a2?x2：令x?atant（??t?）

22x于是t?arctan，则原式可化为asect；

a⑶对于根号下平方差的形式（a?0）：

??a．a2?x2：令x?asint（??t?），

22x于是t?arcsin，则原式可化为acost；

a高等数学期末复习资料 第8页（共12页）