沈阳理工大学线性代数B部分复习题答案

线性代数B部分复习题答案

一、填空题

1、在四阶行列式中； ，项a11a23a34a42的符号为（正）注意项的行标排成标准排列，项的符号取决列标排列的逆序数。 2、由自然数1～9组成的排列213i69j85为偶排列，试确定i=7，j=4.

3x3、函数f(x)?2x4x1，则f(x)的x2项的系数是（1）; ?x2x2用对角线法则，仅挑出x项，注意副对角线以及与副对角线平行线上元素之积取负号。

114、若121x?0，则x?（1或2）; 14x2这是范德蒙行列式，套用其结果

?12??2y?,B?5、设A????10?，若AB=BA，则x?1，y=2； x?1?????3??2???24??12?； 6、设A??，A???1??13?1?????2?7、 设A是4阶方阵A的伴随阵，且A??，则A??;

8、设n阶行列式D=det(aij)中，元素aij的代数余子式是Aij ，则

*12*18?Di?j； aikAjk???0i?jk?1?n这是代数余子式重要性质。

9、若n元齐次线性方程组Ax=O有n个线性无关的解向量，则A=O；

因Ax=O有n个线性无关的解向量，故基础解系所含解向量个数n-R(A)=n，从而R(A)=0

TTT10、若α1??1,1,0?,α2??1,3,?1?,α3??5,3,t? 线性相关，则t?1

11、设A是5×6阶矩阵，如果A有一个3阶子式不为零，而所有4阶子式全为零，则A的秩是3；

?x?2x3?5x4?012、设齐次线性方程组AX=O的同解方程组为?1，则

x?2x?4x?034?2?2??5???????2???4?方程组的基础解系为?. ,1??0??????0??1??????1?23k???13、当k?(1)时，A??12k?3的秩为1. ????1?23??14.设方阵A满足A2?2A?3E?O，则A据教材P43推论

15、在矩阵A的左端乘以一个初等矩阵，相当于对矩阵A施行了一次相应的初等行变换.

?1?A?3E； 3（3A）?7A?-24 16、 设A是3阶方阵A的伴随阵，若A?，计算*13?1*17、a1??1,0,2，0?,2a1?α2??1,4,4,8?TT?1?????4?,则α2???

0????8???二、是非题

1、设A、B为n阶方阵，且AB=O ，则必有A?0或B?0；（ √ ） 据方阵行列式性质，注意：方阵取行列式后变成数了。

2、设A为m×n矩阵，若AX=AY，且A≠O，则X=Y； （ × ） 注意：通常矩阵运算不满足消去律

3、若矩阵A、B满足AB=O ，且A?0，则必有B?O； （ √ ） 但A?0即A可逆时，才有消去律。

4、若矩阵A、B满足AB=O ，则必有A=O，或B?O； （ × ）

5、设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有 A?B；（ × ）据行列式性质2，3

6、将行列式对换某两列后，再将其中一列的倍数加到另一列上，行列式的值不变； （ × ）

7、设A为n阶方阵，若A??1，则?A?1； （ × ）

n据?A??A

n8、若矩阵A满足AT= -A，则A?0； （ × ）

Tn（-1）A，故A不一定为0. 因A??A即A?9、若A可逆，则A的伴随矩阵A也可逆； （ √ ） 证：A可逆?A?0而A?A*

*

*n?1?A*?0

10、若A的伴随矩阵A可逆，则A也可逆； （ √ ） 11、设A、B、C均为n阶方阵，且ABC=E，则CAB=E； （ √ ） 据教材P43推论及可逆定义

12、向量组线性相关的充要条件是每一向量可由其余向量线性表示；（ × ） 教材P87线性相关等价定义至少有一个向量可由其余向量线性表示，但不一定是每一个. 13、若α1可由α2,α3,…,αn线性表示，则向量组α1,α2,…,αn是线性相关的；(√ ) 据教材P87线性相关等价定义

14、n+1个n维向量必线性无关； （ × ） 据教材P89定理5(2)

15、4个5维向量不一定线性相关； （ √ ） 据教材P89定理5(2)

16、若向量组α1,α2,…,αn是线性相关的，则α1可由α2,α3,…,αn线性表示；（×） 据教材P87线性相关等价定义至少有一个向量可由其余向量线性表示，但不一定是α1. 17、一个线性无关向量组的任何部分组都线性无关； （ √ ） 据教材P89定理5(1)

18、设A=BC，若C的列向量组线性相关，则A的列向量组也线性相关；(难些) （ √ ）

（据P88定理4）证设Am?n?Bm?sCs?n,A列秩?R(A)?R(C)(据秩性质7）?C列秩?n故A的列向量组也线性相关

19、向量组B：b1，b2，…，bl与向量组A：a1，a2，…，am等价的充要条件是R（a1，a2，…，am）= R（b1，b2，…，bl）. （ × ）

20、 若齐次线性方程组AX=O只有零解，则AX=b（b≠O）有唯一解；（ × ） 因AX=O只有零解（设Am?n），故R(A)?n，但R(A)不一定等于R(A,b)。 21、若非齐次线性方程组AX=b（b≠O）有惟一解,则AX=0只有零解；（ √ ） 因AX=b（b≠O）（设Am?n）有惟一解，故R(A)?R(A,b)?n(未知数个数），从而AX=0只有零解。据教材P71定理3和定理4.

22、设A为n阶方阵，且R(A)< n -1，则R(A?）?0； （ √ ）(难些) 因R(A)< n -1，故A的n-1阶子式全为零，即A余子式Mij?0, 而A?(Aij),其中代数余子式Aij?(?1)?Ti?jMij?0。

23、若A是4?6矩阵,则齐次线性方程组AX=0必有非零解.( √ ) (难些) 因R(A)?4?6(未知数个数），故齐次线性方程组AX=0有非零解.这里用到教材P71定理和定理4和可乘条件。

24、若齐次线性方程组有两个不同解，则该方程组必有无穷多解.( √ ) 三、计算题

带有参变数的非齐次线性方程组解的讨论，并在有无穷多解时，求通解 ??x1?x2?x3???2?1.当λ为何值时，非齐次线性方程组?x1??x2?x3??1?x?x??x??123?1（i）有惟一解，（ii）无解，

（iii）有无穷多解，并在有无穷多解时求其通解.

解：系数行列式为

?11A?1?1?(??1)2(??2) ……2分

11?（1） 当??1且???2时，A?0，从而方程组有惟一解； ……4分 （2） 当???2时，增广矩阵

1?4??11?2?1??11?2?1???21???B??0?0??1?21?1?～?0?33?～?0?33?

?1?2?1?0?6??1???03?3?6????00?所以R(A)=2，R(B)=3，方程组无解. ……6分 （3）当??1时，增广矩阵