人教版高一数学必修5正弦定理（一）

1．1.1 正弦定理(一)

[学习目标]

1. 通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法 2. .能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题． 知识点一 正弦定理 1．正弦定理的表示

文字语言 符号语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝2R abc＝＝sin Asin Bsin C2.正弦定理的常见变形

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径． abc

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．

2R2R2R

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. a＋b＋cabc

(4)＝＝＝. sin A＋sin B＋sin Csin Asin Bsin C(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.

思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型一 对正弦定理的理解

例1 在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )

A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b?sin 2A＝sin 2B

b＋caC.＝ D．正弦值较大的角所对的边也较大 sin Asin B＋sin C

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反思与感悟 (1)定理的内容：活使用定理的各种变形． ac

(2)如果＝，那么

bd

abc＝＝＝2R，在运用正弦定理进行判断时，要灵sin Asin Bsin C

a＋bc＋d

＝(b，d≠0)(合比定理)； bda－bc－d＝(b，d≠0)(分比定理)； bda＋bc＋d＝(a>b，c>d)(合分比定理)； a－bc－d

a1a2ana1a2ana1＋a2＋…＋an

可以推广为：如果＝＝…＝，那么＝＝…＝＝. b1b2bnb1b2bnb1＋b2＋…＋bn跟踪训练1 在△ABC中，下列关系一定成立的是( ) A．a>bsin A B．a＝bsin A C．a

例2 (1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．

(2)在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解这个三角形．

反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法．

首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两边．

(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．

首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．

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