2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第2节 等差数列及其前n项和

?1?12

anan＋1an＋2，可得＋＝，故数列?a?是等差数列．

a?n?nan＋2an＋1

1

?1?

设数列?a?的公差为d.

?n?

111

因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，

5a3a811

所以－＝5＝5d，即d＝1，

a8a3

11

故＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2， ana31

故an＝.

n＋2

111an

(2)解：由(1)可知bn＝＝·＝

222n＋6（n＋2）（n＋3）

?11?

??－?n＋2n＋3?， ??

111111?1?n?－＋－＋…＋?－故Sn＝?3445＝. n＋2n＋3?2??6（n＋3）

10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

(1)求a及k的值；

Sn

(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并

n求其前n项和Tn.

(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

k（k－1）k（k－1）

所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.

22由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. n（2＋2n）

(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，

2Sn

则bn＝＝n＋1，

n

故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， n（2＋n＋1）n（n＋3）

所以Tn＝＝. 22

[B级 能力提升]

Sn＋1n＋1

11．(2020·珠海联考)已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列

Snn{an}( )

A．既非等差数列，又非等比数列 B．既是等差数列，又是等比数列 C．仅为等差数列 D．仅为等比数列

Sn＋1n＋1Snn

解析：数列{an}中，＝，则＝(n≥2)，

SnnSn－1n－1n－1S22SnSn－1n

则Sn＝××…××S1＝××…××1＝n(n≥

S11Sn－1Sn－2n－1n－2

2)，当n＝1时，S1＝a1＝1符合，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝1，当n＝1时，a1＝1符合，故an＝1(n∈N*)，

则数列{an}为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列． 答案：B

12．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5

＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．

解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝－3，S5＝－10，

??a1＋d＝－3，所以? 5×4

??5a1＋2d＝－10，?a1＋d＝－3，?a1＝－4，即?得? ?a1＋2d＝－2，?d＝1，

n（n－1）n2－n

所以a5＝a1＋4d＝0，Sn＝na1＋d＝－4n＋＝

229?281121?

(n－9n)＝?n－2?－， 22?8?

因为n∈N*，所以n＝4或n＝5时，Sn取最小值，最小值为－10. 答案：0 －10

13．已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．

2*(1)设cn＝b2n＋1－bn，n∈N，求证：数列{cn}是等差数列；

2n

n

(2)设a1＝d，Tn＝?

k＝0

2

(－1)kbk，n∈N*，求证：

k＝0

? Tk<2d2. 11

22

证明：(1)由题意得b2an＋2－anann＝anan＋1，有cn＝bn＋1－bn＝an＋1·＋1＝2dan＋1，因此

cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，

所以{cn}是等差数列．

22222(2)Tn＝(－b21＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n)

＝2d(a2＋a4＋…＋a2n) n（a2＋a2n）＝2d·

2＝2d2n(n＋1)．

11?11n11n??－?所以? ＝2? ＝2? ?k?＝ Tk2dk＋12dk（k＋1）??

nk＝0

k＝0

k＝0

1?1??1－?1·?<2d2. n＋12d2???

[C级 素养升华]

14．(多选题)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则( )

A．a6＋a7＝4 C．a6a7≥4

B．a6＋a7＝12 D．a6a7≤4

解析：在等差数列{an}中，因为S12＝6(a6＋a7)＝24， 所以a6＋a7＝4.

?a6＋a7?2

?

又a6>0，a7>0，所以a6a7≤???＝4，当且仅当a6＝a7＝2时，

?2?

“＝”成立．故选AD.