概率论基本公式

11、联合概率分布(1)离散型联合分布：X Y ??Pijij?1

y1 ??yj p11 p1j P{X=xi} x1 xi P{Y=yj} ?Pjj1j Pi1 Pij ?Pijij?Pii1 ?Pi 1 (2)连续型随机变量函数的分布：

?1?(x?y),0?x?2,0?y?2例：设随机变量（X，Y）的密度函数f(x,y)??8

??0,其他求f(x),f(y),E(X),E(Y),cov(X,Y)，?XY，D(X+Y).

解：①当0≤x≤2时由fX(x)?或x>2时，由fX(x)??[1/8(x?y）dy，得：f0?2xX(x）?1/8x2?1/4x，当x<0

?0??0dy??0dy?0，所以，

fX(x)?同理可求得:

2?1/8x2?1/4x,0?x?2 0,其他fY(y)??1/8y2?1/4y,0?y?2； 0，其他② E(X)=

?0xfX(x）dx?7/6,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。

③因为E(XY)=

??02220xyf(x,y)dxdy??20?201/8xy(x?y)dxdy?4/3.

2 所以，cov（X,Y）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。 ④D(X)?E(X)?[E(X)]?同理得D(Y)=

2??0220711 x2f(x，y)dxdy?()2?636cov(X,Y)111?? ,所以，?XY=

1136D(X)D(Y)⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=

5 95

12、条件分布：若

F(x|A)?P{X?x|A}?X的条件分布函数P{X?x,A},称F(x|A)为在A发生条件下， P{A}13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,则：

F(x|Y?y}?P{X?x,Y?y}F(x,y)，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），?P{Y?y}FY(y)边缘分布概率为FX(x)、FY(y)，若对于任意x、y有：

P{X?x,Y?y}?P{X?x}P{Y?y}，即：F(x,y)?FX(x)FY(y)，则称X和Y独立。14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y),边缘概率密度函数为fX(x)、fY(y)，则对于一切使fX(x)>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：fY|X(y|x)?f(x,y)，同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密

fX(x)度函数为：fX|Y(x|y)?f(x,y)，若f(x,y)=fX(x)fY(y)几乎处处成立，则称X,Y相互

fY(y)独立。

例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：

?ce?(2x?y),x?0,y?0f(x,y)??，求（1）确定常数c；（2）X,Y的边缘概率密

0,其它?度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)P{Y≤X};

(5)条件概率密度函数fX|Y(x|y)；（6）P{X<2|Y<1}

6

解：(1)由???0???0f(x,y)dxdy????0???0ce?(2x?y)dxdy?c?e?2xdx?0??1c?1,?c?22???2e?(2x?y),x?0,y?0(2)由c?2得到：f(x,y)??，则：当x?0时，fX(x)??2e?(2x?y)dy?2e?2x00,其它????2e?2x,x?0?e?y,y?0?(2x?y)?y?fX(x)??，当y?0时，fY(y)??2edx?e,?fY(y)??.0?0,其它?0,其它(3)当x?0,y?0时，F(x,y)??xx0?y02e?(2x?y)dxdy??(2e?2x?2e?(2x?y)dx?(1?e?2x)(1?e?y)0x?(1?e?2x)(1?e?y),x?0,y?0当x?0,y?0时，F(x,y)???0dxdy?0,?F(x,y)??.000,其它???x??1?(2x?y)(4)P{Y?X}???2edxdy??(2e?2x?2e?3xdx?;0003?2e?2x，x?0,f(x,y)?2x(5)当x?0,y?0时，fX|Y(x|y)??2e，?fX|Y(x|y)??y?0.fY(y)?0，其它y(6)?FY(y)??e?ydy?1?e?y0y?P{X?2|Y?1}?P{X?2,Y?1}F(2,1)??1?e?4.P{Y?1}FY(1)15、数学期望：（1）离散型：E(X)????xp

iii?1?（2）连续型：E(X)?变量都有数学期望。

???xf(x)dx，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机

数学期望的性质：① E(CX)=CE(X) ①E(X1?X2)?E(X1)?E(X2) ③设X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).

例：10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E(X)(设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立)

A和A,附：二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果：

且P(A)=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则X~b(n,p)，

?若记Xi为第i次试验中结果A出现的次数，即：Xi??其中：X?X1?X2????Xi

?1，第i次试验A出现

?0，第i次试验A不出现 7

?1,第i号房间有人；解：引入随机变量xi??i?1,2,3,??15.0，第i号房间没人；?易知X?X1?X2????X15141410由题意，任意房间没有人的概率为，则10个人都不在第i号房间的概率为：（），15151410那么在第i号房间有人的概率为1（-），即：1514101410P{xi?0}?（）,P{xi?1}?1（-）,i?1,2,3，??，1515151410?E(xi)?1（-）,i?1,2,3,??，15.151410?E(X)?E(X1?X2????X15)?E(X1)?E(X)????E(X15)?15[1（-）]?7.481516、方差：(1)D(X)?E[X?E(X)]?E(X)?[E(X)]

(2)方差性质：①D(CX)=CD(X);②若X.Y相互独立，则：D(X?Y)?D(X)?D(Y) 17、协方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别，X,Y独立时，有：cov(X,Y)=0.

（2）协方差性质：①cov(X,X)=D(X);②cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);③cov(C,Y)=0;④cov(X1?X2,Y)=cov(X1,Y)?cov（X2，Y)⑤随机变量和的方差与协方差的关系

2222D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y).

(3)相关系数?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y),性质：①|?XY|?1;②若X和Y相互独立，则?XY=0，

即X和Y不相关。③若D(X)>0，D(Y)>0，则当且仅当存在常数a，b（a?0），使：

P{Y?aX?b}?1时，|?XY|?1，而且a?0时，?XY?1;当a?0时，?XY??1.

附注：

?XY?0时，只能说明Y与X之间不是线性关系，但可能有其他函数关系，从而不能推注Y与X独立。2

④设e=E[Y-(aX?b)],称为用aX?b来近似Y的均方差，则：设D(X)>0，D(Y)>0,有：

a0?cov(X,Y),b0?E(Y)?a0E(X),使均方误差达到最小。

D(X)218、切比雪夫不等式：设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=?,则对于给定任意正数?，

?2?2有：P{|X??|??}?2，或者为：P{|X??|??}?1?2.

??

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