概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式

第一部分 概率论基本公式

????A?B?A?B. 1、A?B?AB?A?AB;A?B?A?(B?A)2、对偶率：A?B?A?B；3、概率性率：

?P(A?B)?P(A)?P(AB),特别，B?A时有：P(A?B)?P(A)?P(B);P(A)?P(B)

有限可加：A1、A2为不相容事件，则P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)对任意两个事件有：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

4、古典概型

例：n双鞋总共2n只，分为n堆，每堆为2只，事件A每堆自成一双鞋的概率解：分堆法：C5、条件概率

22n(2n)!n!?,自成一双为：n！，则P(A)?2（2n-2)！2！C2n

P(B|A)?P(AB),称为在事件A条件下，事件B的条件概率，P(B)称为无条件概率。P(A)乘法公式：P(AB)?P(A)P(B|A) P(AB)?P(B)P(A|B)

全概率公式：P(B)??P(Ai)P(B|Ai)

i贝叶斯公式：P(Ai|B)?P(AiB)?P(B)P(Ai)P(B|Ai)

P(A)P(B|A)?jjj例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2

黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？

解：(1)设Bi?{球取自i号罐}，i?1,2,3。A?{取得是红球}，由题知B1、B2、B3是一个完备事件由全概率公式P(B)??P(Ai)P(B|Ai)，依题意，有：P(A|B1)?i231;P(A|B2)?;P(A|B3)?.3421P(B1)?P(B2)?P(B3)?，?P(A)?0.639.3P(A|B1)P(B1)(2)由贝叶斯公式：P(B1|A)??0.348.P(A)6、独立事件

（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。 (2)伯努利概型

如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即： P(A)=p,P(A)?1?p?q (0

? 1

相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。

kkn?kb(k;n,p)?Cp(1?p)伯努利定理： （k=0,1,2??） nk?1p(1?p) 事件A首次发生概率为：

例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。

解：（1）设B?“5次独立试验发出指示信号”，则由题意有：P(B)??C5kpk(1?p)5?k，代入数据得：P(B)?0.163i?35(2)设C?“7次独立试验发出指示信号”，则由题意有：P(C)??Cp(1?p)k7ki?377?k

?1??C7kpk(1?p)n?k，代入数据，得：P(C)?0.353i?02第二章

7、常用离散型分布

（1）两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：

则称X服从x1、x2处参数为p的两点分布。 P{X?x1}?p;P{X?x2}?1?p （0

（2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由P{X?k}?Cnp(1-p)kkn?k

（k=0,1,2??）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为：X~b(n,p)（或B(n，p) 其中

?P{X?k}?1，当n=1时为0—1分布。 其期望E（X）=np，方差D(X)=np(1-p)

k?0n（3）泊松分布：若一个随机变量X概率分布为：P{X?k}?e???kk!,??0，k?0,1,2??则称X服从参数为?的泊松分布，记为：X~P(?)(或X~?(?),其中

?P{X?k}?1.

k?0泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为Pn,如果n??时，

nPn??(??0的常数），则对任意给定的k，

有

limb(k;n,p)?limCp(1?pn)knknn??n??n?k??kk!e??，这表明，当n很大时，p接近0或1

时，有Cp(1?pn)knknn?k??kk!e??（??np）。 N≥20，p≤0.05时用泊松分布。其期望方

差相等，即：E(X)=D(X)= ?。

2

8、常用连续型分布

（1）均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为

f(x)????1/(b?a),a?x?b0,其他则称X在区间

（a，b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。其中

?-?f(x)dx?1，分布函数为：

0,x?a??F(x)??(x?a)/(b?a),a?x?b.

?1,x?b.?(b?a)2a?b其期望E（X）=，方差D(X)=。

122??e??x,x?0f(x)??，??0，则称X服从参数

（2）指数分布：若随机变量的概率为

?0,其他?1?e??x,x?0，??0 为?的指数分布，简记为X~e(?).其分布函数：F(x)??0,其他，?其期望E(X)=

11,方差D(X)=2. ??(3)正态分布：若随机变量X的概率密度为f(x)?12??2e?(x??)22?2,???x???，则称X

服从参数为μ和?的正态分布，记为X~N(μ, ?),其中μ和?（?>0）都是常数。分布

2函数为：F(x)??2??1x??e?(t??)22?2dt,???x???.。当??0,??1时，称为标准正态分

12?ex2?2布，概率密度函数为：?（x)2?,分布函数为：?(x)?e?2???1x?t22dt.

定理：设X~N(?,?),则Y?其期望E(X)= μ,D(X)= ?。

2X???~N(0,1)

3

9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值yi(i=1,2,??)来确定Y的概率分布。

（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数FX(x)或者概率密度fX(x)，则随机变量Y=g(X)的分布函数FY(y)?P{Y?y}?P{g(X)?y}?P{X?CY},其中

Cy?{x|g(x)?y}，FY(y)?P{X?CY}??fX(x)dx，进而可通过Y的分

Cy布函数FY(y)，求出Y的密度函数。

例：设随机变量X的密度函数为fX(x)???1?|x|,?1?x?1，求随机变量

0,其他?Y?X2?1的分布函数和密度。函 数解：设FY(y)和fY(y)分别是随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则由?1?x?1得：1?y?2,那么当y?1时FY(y)?P{Y?y}?P{X2?1?y}?P(?)?0,当1?y?2时，得：2Y(y)?P{Y?y}?P{X?1?y}?P{?y?1?x?y?1y?10y?1???y?1(1?|x|)dx??(1?x)dx?1?y?1?0(1?x)dx?2y?1?(y?1),当y?2时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?1?y}??0dx?-?0,y?1?1???(1?|x|)dx?0dx?1,所以，F(y)??2y?1?(y?1),1?y?2,Y??1?1?1,y?2??1?1,1?y?2?fX(x)?FY(y)'??y?1?0,其他?10、设随机变量

X~N(?,?),Y=aX?b也服从正态分布.即

2Y?aX?b~N(a??b,(a?)2)。

4