2020高中数学 第二章 曲线的参数方程 第2课时 圆的参数方程高效演练 新人教A版选修4-4

精品

第2课时 圆的参数方程

[A级 基础巩固]

一、选择题

??x＝－1＋2cos θ，

1．曲线?(θ为参数)围成图形的面积等于( )

?y＝3＋2sin θ?

A．π C．3π 答案：D

B．2π D．4π

2．圆x＋(y＋1)＝2的参数方程为( )

??x＝2cos θ，

A.?(θ为参数) ?y＝1＋2sin θ?

22

?x＝2cos θ，B.?(θ为参数) ?y＝1＋2sin θ??x＝2cos θ，C.?(θ为参数) ?y＝－1＋2sin θ?

?x＝2cos θ，D.?(θ为参数) ?y＝－1＋2sin θ解析：由x＝2cos θ，y＋1＝2sin θ知参数方程为?答案：D

?x＝2cos θ，?y＝－1＋2sin θ(θ为参数)．

?x＝2＋4cos θ，

3．已知圆O的参数方程是?(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－33)，则参数θ＝

?y＝－3＋4sin θ( )

A.

7π4π11π5π B. C. D. 6363

?4＝2＋4cos θ，解析：由题意?(0≤θ<2π)，

?－33＝－3＋4sin θ1

cos θ＝，?2?5π所以?(0≤θ<2π)，解得θ＝.

33

??sin θ＝－2答案：D

4．若x，y满足x＋y＝1，则x＋3y的最大值为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

2

2

精品

解析：由于圆x＋y22

??x＝cos θ，

＝1的参数方程为?(θ为参数)，则

?y＝sin θ?

x＋3y＝3sin θ＋cos θ＝

π??2sin?θ＋?，故x＋3y的最大值为2.

6??

答案：B

??x＝2cos θ，5．直线：3x－4y－9＝0与圆：?(θ为参数)的位置关系是( )

?y＝2sin θ?

A．相切 C．直线过圆心

B．相离

D．相交但直线不过圆心

解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心， 9

又圆心到直线距离d＝<2. 5所以直线与圆相交，但不过圆心． 答案：D 二、填空题

6．设y＝tx(t为参数)，则圆x＋y－4y＝0的参数方程是________． 解析：把y＝tx代入x＋y－4y＝0得x＝4ty＝2， 1＋t4tx＝??1＋t，

所以参数方程为?(t为参数)．

4t??y＝1＋t222

2

2

2

2

2

4t2， 1＋t4tx＝??1＋t，

答案：?(t为参数)

4t??y＝1＋t222

??x＝1＋cos θ，7．已知曲线方程?(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为

?y＝sin θ?

________．

解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A， 则|PA|＝（1＋cos θ＋1）＋（sin θ＋2）＝

π??9＋42sin?θ＋?， 4??故|PA|min＝9－42＝22－1. 答案：22－1

??x＝cos θ，

8．曲线C：?(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线

?y＝－1＋sin θ?

2

2

C与直线x＋y＋a＝0有公共

精品

点，那么a的取值范围是________．

??x＝cos θ，解析：?(θ为参数)消参可得

?y＝－1＋sin θ?

x2＋(y＋1)2＝1，

|－1＋a|利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，

2解得1－2≤a≤1＋2.

答案：x＋(y＋1)＝1 [1－2，1＋2] 三、解答题

9．已知P(x，y)是圆x＋y－2y＝0上的动点． (1)求2x＋y的取值范围；

(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围． 解：方程x＋y－2y＝0变形为x＋(y－1)＝1，

??x＝cos θ，

其参数方程为?(θ为参数)．

??y＝1＋sin θ2

2

2

2

2

2

2

2

(1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan φ＝2确定)， 所以1－5≤2x＋y≤1＋5.

(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立． 因为－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1， 所以当且仅当c≥2－1时，x＋y＋c≥0恒成立．

10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ?π?＝2cos θ，θ∈?0，?.

2??

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)＋y＝1(0≤y≤1)．

??x＝1＋cos t，

可得C的参数方程为?(t为参数，0≤t≤π)．

?y＝sin t?

2

2

(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为C在点D处的切线与l垂直，

π

所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝. 3ππ?3??3?故D的直角坐标为?1＋cos，sin ?，即?，?. 33???22?

B级 能力提升

1．若x，y满足(x－1)＋(y＋2)＝4，则2x＋y的最小值为________．

2

2

精品

解析：令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ， 则有x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，

故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝ 25sin(θ＋φ)(其中φ由tan φ＝2确定)． 所以－25≤2x＋y≤25. 即2x＋y的最小值为－25. 答案：－25

??x＝1＋2cos α，

2．已知直线y＝x与曲线?(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.

??y＝2＋2sin α??x＝1＋2cos α，??x－1＝2cos α，

?解：由得? ?y＝2＋2sin α，??y－2＝2sin α.?

所以(x－1)＋(y－2)＝4，其圆心为(1，2)，半径r＝2， 则圆心(1，2)到直线y＝x的距离d＝

|1－2|1＋（－1）

222

＝22

. 2

所以|AB|＝2r－d＝2

22

?2?2

2－??＝14.

?2?

2

?x＝1＋cos θ，?

3．已知圆C：?(θ为参数)和直线

?y＝sin θ?

?x＝2＋tcos α，

l?(其中t为参数，α为直线l的倾斜?y＝3＋tsin α角)，

2π

(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；

3(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

2π

解：(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，圆心到直线

323

的距离d＝＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.

2

(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)＋y＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t＋2(cos απ?22?＋3sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)－12≥0，则sin?α＋?6??π?π?π?3333ππ2π???≥，即sin?α＋?≥或sin?α＋?≤－.又0≤α≤π，故只能sin?α＋?≥，即≤ α＋≤，

6?26?6?242363???即

ππ

≤ α≤. 62

2

2

2

?ππ?故α的取值范围是?，?.

?62?