2015年高考数学考点分类自测 正弦定理和余弦定理 理

2015年高考理科数学考点分类自测：正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝( ) A．52 B．102 C.106

3

D．56

2．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是

( )

A．60° C．120°

B．90° D．135°

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cosB＝( )

1A．－

2

1B. 2D．1

2

2

2

C．－1

4．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)－c＝4，且C＝60°，则ab的值为( )

4

A. 3C．1

B．8－43 2D. 3

2

2

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a－b＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝( )

A．30° C．120°

B．60° D．150°

6．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为

( )

A.3

B.3

2

C.5 二、填空题

D．2

π1

7．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，则a＝________.

438．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S是△ABC的面积，

1

且4S＝a＋b－c，则角C＝________.

9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．

三、解答题

10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin A＋csin C－2asin C＝bsin B. (1)求B；

(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. cos A－2cos C2c－a已知＝.

cos Bbsin C(1)求的值；

sin A1

(2)若cos B＝， b＝2，求△ABC的面积S.

4

1

12．已知向量m＝(sin A，)与n＝(3，sin A＋3cos A)共线，其中A是△ABC的内角．

2(1)求角A的大小；

(2)若BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

详解答案：

1．解析：由于A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－60°－75°＝45°.

222

2

2

2106sin C由正弦定理，得c＝a＝10×＝. sin A33

2答案：C

2．解析：∵在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，

∴a∶b∶c＝1∶1∶3，设a＝b＝k，c＝3k(k>0)，最大边为c，其所对的角C为最大

k2＋k2－?3k?21

角，则cos C＝＝－，∴C＝120°.

2×k×k2

答案：C

3．解析：∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sinB， ∴sin Acos A＋cosB＝sinB＋cosB＝1. 答案：D

4．解析：由(a＋b)－c＝4，得a＋b－c＋2ab＝4. ① 由余弦定理得a＋b－c＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab， ② 4

将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝.

3答案：A

5．解析：由sin C＝23sin B可得c＝23b，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b2＋c2－a2－3bc＋c23

由余弦定理得cos A＝＝＝，于是A＝30°.答案： A

2bc2bc2

6．解析：延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形．在△

ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－2·2·AM·cos

30°，解得AM＝3，所以AD＝

答案：B

1

5×

352ab7．解析：根据正弦定理＝，得a＝＝. sin Asin B32

252答案： 3

8．解析：由4S＝a＋b－c，得2S＝所以absin C＝

2

2

2

3. 2

a2＋b2－c2

2

.

a2＋b2－c2

2

，sin C＝cos C，所以tan C＝1.

3

C＝.

π答案：

4

9．解析：不妨设角A＝120°，c

π4

＋?b－4?2－?b＋4?22b?b－4?＝－12，解得b＝10，所以S＝1

2

bcsin 120°＝153.

答案：153

10．解：(1)由正弦定理得a2

＋c2

－2ac＝b2

. 由余弦定理得b2

＝a2

＋c2

－2accos B. 故cos B＝

2

2

，因此B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6

4

. 故a＝b×sin A2＋6

sin B＝2

＝1＋3.

c＝b×

sin Csin60°sin B＝2×sin45°

＝6. 11．解：(1)由正弦定理得，设abcsin A＝sin B＝sin C＝k，

则

2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin Ab＝ksin B＝sin B， cos A－2cos Ccos B＝2sin C－sin Asin B. 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A. 因此sin Csin A＝2.

(2)由sin Csin A＝2得c＝2a.

由余弦定理b2＝a2＋c2

－2accos B及cos B＝14，b＝2，

得4＝a2＋4a2－4a2

×14. 解得a＝1，

从而c＝2.又因为cos B＝1

4

，且0

4

b2

所以sin B＝

154

， 因此S＝111515

2acsin B＝2×1×2×4＝4.

12．解：(1)因为m∥n，

所以sin A·(sin A＋3cos A)－32＝0，所以1－cos 2A33

2＋2sin 2A－2＝0，

即

32sin 2A－12cos 2A＝1，即sin(2A－π

6

)＝1. 因为A∈(0，π)，以2A－π6∈(－π6，11π6)．

故2A－π6＝ππ

2，即A＝3

. (2)由余弦定理，得4＝b2

＋c2

－bc， 又S13

△ABC＝2bcsin A＝4

bc，

而b2

＋c2

≥2bc?bc＋4≥2bc?bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)， 所以S＝12bcsin A＝34bc≤3

△ABC4×4＝3，

当△ABC的面积最大时，b＝c， 又A＝π

3，故此时△ABC为等边三角形．

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