2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)

由，取z＝1，得；

由

，取x1＝1，得．

∴cos＜＞＝．

∴平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．

【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定、法向量与数量积的应用、空间角，考查空间想象能力与思维能力、计算能力，属中档题．

19．（12分）2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：

蔬菜量X 天数

[40，80）

25

[80，120）

50

[120，160）

100

[160，200）

25

若将频率视为概率，试解答如下问题：

（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；

（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？

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【分析】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P（A）＝，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率．

（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为

，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的

值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．

【解答】解：（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”， 则P（A）＝，

∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为： p＝

＝

．

（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为

，

设物流公司每天的营业利润为Y， 若租赁1辆车，则Y的值为2000元，

若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600， P（Y＝4000）＝，P（Y＝1600）＝， ∴Y的分布列为：

Y P

∴E（Y）＝4000×

4000

＝3700元．

1600

若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200， P（Y＝6000）＝， P（Y＝3600）＝，

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P（Y＝1200）＝， ∴Y的分布列为：

Y P

∴E（Y）＝

6000

3600

1200

＝4800元，

若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800， P（Y＝8000）＝， P（Y＝5600）＝， P（Y＝3200）＝， P（Y＝800）＝， ∴Y的分布列为：

Y P

∴E（Y）＝

∵4800＞4700＞3700＞2000，

∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车． 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R． （1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；

（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．

【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；

（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．

8000

5600

3200

800

＝4700，

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【解答】解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx﹣

，x＞0，

易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（

+2，＝

）上单调递减，

故当x＝时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4， （2）

＝

，

当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；

当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点； 当0

即

时，（fx）在（1，e）上单调递减，由题意可得，

，

解可得，0当

即

，

时，f（x）在（1，）上单调递减，在（

＝

）上单调递增， ，

由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1）﹣

令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）ln﹣a+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2， 令h（a）＝所以h（a）在（所以g（a）在（即f（）＞0，

所以f（x）在（1，e）上没有零点， 综上，当0＜a＜当a≤0或a

时，f（x）在（1，e）上有唯一零点， 时，f（x）在（1，e）上没有零点．

，则

＜0，

）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0， ）上递增，g（a）＞g（）＝2﹣

，

【点评】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用．

21．（12分）已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，

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