2017_18学年高中数学第二章参数方程2.2.2圆的参数方程学案

(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．

??x＝1＋cos θ，3．将参数方程?

?y＝sin θ?

2

(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是

________________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．

解析：易得直角坐标方程是(x－1)＋y＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为5－1.

答案：(x－1)＋y＝1

[对应学生用书P30]

一、选择题

??x＝2＋2cos θ，

1．圆的参数方程为?

??y＝2sin θ2

2

2

5－1

2

0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为( )

B．(0，－2) D．(2,0)

A．(0,2) C．(－2,0)

2

解析：选D 圆的普通方程为(x－2)＋y＝4. 故圆心坐标为(2,0)．

?x＝5cos θ，

2．若直线2x－y－3＋c＝0与曲线?

?y＝5sin θ等于( )

A．2或－8 C．－2或8 解析：选C 将曲线?

(0≤θ≤2π)相切，则实数cB．6或－4 D．4或－6

?x＝5cos θ，?y＝5sin θ

(0≤θ≤2π)化为普通方程为x＋y＝5，由

22

|－3＋c|22

直线2x－y－3＋c＝0与圆x＋y＝5相切，可知＝5，解得c＝－2或8.

5

??x＝2＋cos α，

3．P(x，y)是曲线?

?y＝sin α?

0≤α≤2π上任意一点，则(x－5)＋(y＋4)

22

的最大值为( )

A．36 C．26

B．6 D．25

解析：选A 设P(2＋cos α，sin α)，代入得 (2＋cos α－5)＋(sin α＋4)

＝25＋sinα＋cosα－6cos α＋8sin α 3

＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝，φ为锐角)．

4∴最大值为36. 4．已知曲线C：?

?x＝2cos θ，?

??y＝2sin θ2

22

2

(0≤θ≤2π)和直线l：?

?x＝t，?

??y＝t＋b

2

(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝( )

A.2 C．0

B．－2 D．±2

2

解析：选D 将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x＋y＝4和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，|b|

得到＝1，解得b＝±2.

2

二、填空题

5．把圆x＋y＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．

解析：圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)＋(y－2)＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，

故参数方程为?

??x＝－1＋2cos θ，??y＝2＋2sin θ2

2

2

2

2

2

(0≤θ≤2π)．

答案：?

?x＝－1＋2cos θ，?

??y＝2＋2sin θ

(0≤θ≤2π)

6．已知圆C：?为________．

?x＝cos θ，?

??y＝－1＋sin θ

与直线x＋y＋a＝0有公共点，则实数a的取值范围

解析：将圆C的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0，

π??即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin?θ＋?. 4??π??∵－1≤sin?θ＋?≤1，∴1－2≤a≤1＋2.

4??答案：[1－2，1＋2]

??x＝tcos θ，

7．直线?

??y＝tsin θ

??x＝4＋2cos α，

(t为参数)与圆?

??y＝2sin α

(0≤α≤2π)相切，则

θ＝________.

π

解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为

65π或. 6

π5π答案：或 66

8．已知动圆x＋y－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．

解析：设P(x，y)为动圆的圆心， 由x＋y－2axcosθ－2bysin θ＝0， 得(x－acos θ)＋(y－bsin θ)＝acosθ＋

2

2

2

2

2

2

2

2

b2sin2θ.

??x＝acos θ，

∴???y＝bsin θ.

??x＝acos θ，答案：?

?y＝bsin θ?

三、解答题

9．已知圆的方程为x＋y＝2x，写出它的参数方程． 解：x＋y＝2x的标准方程为(x－1)＋y＝1. 设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则

??x＝1＋cos θ，参数方程为?

?y＝sin θ?

2

2

2

2

2

2

2

(0≤θ≤2π)．

2

10．已知实数x，y满足x＋(y－1)＝1，求t＝x＋y的最大值． 解：方程x＋(y－1)＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．

2

2

??x＝cos θ，

∴其参数方程为?

?y＝1＋sin θ.?

∴t＝x＋y＝cos θ＋sin θ＋1 π

＝2sin(θ＋)＋1.

4

π

∴当sin(θ＋)＝1时，tmax＝2＋1.

4

tx＝2－，??2

11．已知过点M(2，－1)的直线l：?ty＝－1＋??2A、B两点， 求|AB|及|AM|·|BM|.

2?t?

??，?x＝2－2??2?

解：l的参数方程为?

2?t?

???y＝－1＋2??2?2

?x＝2－t′，?2t令t′＝，则有?22

y＝－1＋t′??2

(t为参数)，与圆x＋y＝4交于

22

(t为参数)．

(t′是参数)．

其中t′是点M(2，－1)到直线l上的一点P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程

x2＋y2＝4，化简得t′2－32t′＋1＝0.∵Δ>0，可设t1′、t2′是方程的两根，由根与系

数关系得t1′＋t2′＝32，t1′t2′＝1.由参数t′的几何意义得|MA|＝|t1′|，|MB|＝|t2′|，∴|MA|·|MB|＝|t1′·t2′|＝1，|AB|＝|t1′－t2′|＝

t1′＋t2′

2

－4t1′t2′＝14.