2019-2020年高考数学专题复习三角函数与平面向量的综合应用教案文

专题三 三角函数与平面向量的综合应用 (时间：60分钟) A组 专项基础训练题组 一、选择题

1.已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cosx,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是

( ) A.π 2

B.π

C.2π

D.4π

2

2.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A).若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 ( ) A.C.

ππ

， 63ππ， 36

B.D.2ππ， 36ππ， 33

3??1

3.已知a＝?－，?，b＝(1，3)，则|a＋tb| (t∈R)的最小值等于

?22?( )

A.1 二、填空题

B.3

2

1

C. 2

D.2 2

π?1?π????4.已知0<α<，β为f(x)＝cos?2x＋?的最小正周期，a＝?tan?α＋β?，－1?，b8?4?4????2cosα＋α＋β

＝(cos α，2)，且a·b＝m，则cos α－sin α

2

＝________.

5.在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其→→

中x∈[0，π]，若AB⊥OC，则x的值为______.

6.已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1＋sinx＝_________. 2

cosx－sin 2x三、解答题

π

7.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (A>0，ω>0，|φ|<)，若该函数图象上的一个

2最高点坐标为?

2

?π，3?，与其相邻的对称中心的坐标是?－π，0?.

??12??6???

(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；

(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x的集合.

8.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－3)，n＝

?cos 2B，2cos2B－1?且m∥n. ??2??

(1)求锐角B的大小；

(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值. B组 专项能力提升题组 一、选择题

→→→→1.已知向量OB＝(2,0)，向量OC＝(2,2)，向量CA＝(2cos α，2sin α)，则向量OA→

与向量OB的夹角的取值范围是 ( )

?π?A.?0，?

4??

D.?

B.?

?π，5π?

?

?412?

π??5

C.?π，?

2??12?π，5π?

?

?1212?

?33?→→→→

2.在△ABC中，AB·BC＝3，△ABC的面积S△ABC∈?，?，则AB与BC夹角的取值范围是

?22?

B.?D.?

( )

?ππ?A.?，? ?43??ππ?C.?，? ?63?

?π，π?

??64??π，π?

??32?

1

3.(2011·大纲全国)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝

260°，则|c|的最大值等于

( )

B.3 D.1

A.2 C.2 二、填空题

4.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是__________.

5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，

BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当PD·PA取

得最小值时，tan∠DPA的值为________.

→→

→→

6.(2011·上海)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB＝3，BD＝1，则AB·AD＝________.

三、解答题

7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg a－lg b＝lg cos B－lg cos

A≠0.

(1)判断△ABC的形状；

(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值.

8.已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|＝3，|b|＝1，x为正实数. (1)若a＋2b与a－4b垂直，求tan θ；

π

(2)若θ＝，求|xa－b|的最小值及对应的x的值，并指出向量a与xa－b的位置

6关系；

(3)若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xa－b|＝|ma|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围.

答案

题型分类·深度剖析

例1 解 (1)由f(x)＝23sin xcos x＋2cosx－1， 得f(x)＝3(2sin xcos x)＋(2cosx－1) π??＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?. 6??所以函数f(x)的最小正周期为π.

π???π??ππ?因为f(x)＝2sin?2x＋?在区间?0，?上为增函数，在区间?，?上为减函数，

6?6????62?

2

2

?π??π??π?又f(0)＝1，f??＝2，f??＝－1，所以函数f(x)在区间?0，?上的最大值为2，

2??6??2??

最小值为－1.

π??(2)由(1)，可知f(x0)＝2sin?2x0＋?.

6??6

又因为f(x0)＝，

5π?3?所以sin?2x0＋?＝. 6?5?

?ππ?由x0∈?，?，

?42?

π?2π7π?

得2x0＋∈?，?.

6?6?3π??从而cos?2x0＋? 6??＝－π?42?1－sin?2x0＋?＝－.

6?5?

?所以cos 2x0＝cos??

x0＋π6

π－?? 6?

π?π?ππ3－43??＝cos?2x0＋?cos ＋sin?2x0＋?·sin ＝. 6?6?6610??113

变式训练1 (1) (2)－2

314

例2 解 (1)由a＝2bsin A，

根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，

1π

所以sin B＝，由△ABC为锐角三角形可得B＝. 26