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专题三 三角函数与平面向量的综合应用 (时间:60分钟) A组 专项基础训练题组 一、选择题
1.已知向量a=(2,sin x),b=(cosx,2cos x),则函数f(x)=a·b的最小正周期是
( ) A.π 2
B.π
C.2π
D.4π
2
2.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(3,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为 ( ) A.C.
ππ
, 63ππ, 36
B.D.2ππ, 36ππ, 33
3??1
3.已知a=?-,?,b=(1,3),则|a+tb| (t∈R)的最小值等于
?22?( )
A.1 二、填空题
B.3
2
1
C. 2
D.2 2
π?1?π????4.已知0<α<,β为f(x)=cos?2x+?的最小正周期,a=?tan?α+β?,-1?,b8?4?4????2cosα+α+β
=(cos α,2),且a·b=m,则cos α-sin α
2
=________.
5.在直角坐标系xOy中,已知点A(-1,2),B(2cos x,-2cos 2x),C(cos x,1),其→→
中x∈[0,π],若AB⊥OC,则x的值为______.
6.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则1+sinx=_________. 2
cosx-sin 2x三、解答题
π
7.已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R (A>0,ω>0,|φ|<),若该函数图象上的一个
2最高点坐标为?
2
?π,3?,与其相邻的对称中心的坐标是?-π,0?.
??12??6???
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)求函数的最小值,并写出函数取得最小值时自变量x的集合.
8.△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-3),n=
?cos 2B,2cos2B-1?且m∥n. ??2??
(1)求锐角B的大小;
(2)如果b=2,求S△ABC的最大值. B组 专项能力提升题组 一、选择题
→→→→1.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos α,2sin α),则向量OA→
与向量OB的夹角的取值范围是 ( )
?π?A.?0,?
4??
D.?
B.?
?π,5π?
?
?412?
π??5
C.?π,?
2??12?π,5π?
?
?1212?
?33?→→→→
2.在△ABC中,AB·BC=3,△ABC的面积S△ABC∈?,?,则AB与BC夹角的取值范围是
?22?
B.?D.?
( )
?ππ?A.?,? ?43??ππ?C.?,? ?63?
?π,π?
??64??π,π?
??32?
1
3.(2011·大纲全国)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-,〈a-c,b-c〉=
260°,则|c|的最大值等于
( )
B.3 D.1
A.2 C.2 二、填空题
4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值、最小值分别是__________.
5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,
BC=2,AB=3,P是BC上的一个动点,当PD·PA取
得最小值时,tan∠DPA的值为________.
→→
→→
6.(2011·上海)在正三角形ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则AB·AD=________.
三、解答题
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且lg a-lg b=lg cos B-lg cos
A≠0.
(1)判断△ABC的形状;
(2)设向量m=(2a,b),n=(a,-3b),且m⊥n,(m+n)·(n-m)=14,求a,b,c的值.
8.已知两个不共线的向量a,b的夹角为θ,且|a|=3,|b|=1,x为正实数. (1)若a+2b与a-4b垂直,求tan θ;
π
(2)若θ=,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并指出向量a与xa-b的位置
6关系;
(3)若θ为锐角,对于正实数m,关于x的方程|xa-b|=|ma|有两个不同的正实数解,且x≠m,求m的取值范围.
答案
题型分类·深度剖析
例1 解 (1)由f(x)=23sin xcos x+2cosx-1, 得f(x)=3(2sin xcos x)+(2cosx-1) π??=3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+?. 6??所以函数f(x)的最小正周期为π.
π???π??ππ?因为f(x)=2sin?2x+?在区间?0,?上为增函数,在区间?,?上为减函数,
6?6????62?
2
2
?π??π??π?又f(0)=1,f??=2,f??=-1,所以函数f(x)在区间?0,?上的最大值为2,
2??6??2??
最小值为-1.
π??(2)由(1),可知f(x0)=2sin?2x0+?.
6??6
又因为f(x0)=,
5π?3?所以sin?2x0+?=. 6?5?
?ππ?由x0∈?,?,
?42?
π?2π7π?
得2x0+∈?,?.
6?6?3π??从而cos?2x0+? 6??=-π?42?1-sin?2x0+?=-.
6?5?
?所以cos 2x0=cos??
x0+π6
π-?? 6?
π?π?ππ3-43??=cos?2x0+?cos +sin?2x0+?·sin =. 6?6?6610??113
变式训练1 (1) (2)-2
314
例2 解 (1)由a=2bsin A,
根据正弦定理得sin A=2sin Bsin A,
1π
所以sin B=,由△ABC为锐角三角形可得B=. 26
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