2019-2020年高考数学专题复习三角函数与平面向量的综合应用教案文

2019-2020年高考数学专题复习三角函数与平面向量的综合应用教

案文

1.同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新

两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点.

2.研究三角函数的性质，一般要化为f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，若是奇函数，则可化为f(x)＝±Asin ωx；若是偶函数，则可化为f(x)＝±Acos ωx.求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y＝sin x与y＝cos x的单调区间.

3.解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现. 4.平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法.平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性. [难点正本 疑点清源]

1.三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，再研究其性质.

2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用.

题型一 三角函数式的化简求值问题

例1 已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2cosx－1 (x∈R).

2

?π?(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间?0，?上的最大值和最小值；

2??

6?ππ?(2)若f(x0)＝，x0∈?，?，求cos 2x0的值.

5?42?

探究提高 (1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”，“－”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公

式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确.

已知向量m＝(－1，cos ωx＋3sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中

3

ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为π.

2(1)求ω的值；

π?23?3

(2)设α是第一象限角，且f?α＋?＝，

2?26?2

π??sin?α＋?4??

π＋2α

求的值.

题型二 三角形中的三角恒等变换

例2 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsin A. (1)求B的大小；

(2)求cos A＋sin C的取值范围.

探究提高 本题的难点是第(2)问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围.

设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c且3b＋3c－3a＝42

2

2

2

bc.

(1)求sin A的值；

π??π??2sin?A＋?sin?B＋C＋?4?4???(2)求的值.

1－cos 2A题型三 平面向量与三角函数

??例3 已知向量m＝?3sin ，1?，

4??

x2x??n＝?cos ，cos?.

x?

4

4?

(1)若m·n＝1，求cos?

?2π－x?的值；

?

?3?

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos

B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围.

探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.

已知A、B、C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，

α∈?

?π，3π?.

?2??2

→→

(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值；

2sinα＋sin 2α→→

(2)若AC·BC＝－1，求 的值.

1＋tan α

2

8.平面向量与三角函数的综合问题

试题：(12分)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β).

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.

审题视角 (1)利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值.(2)根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式. 规范解答

(1)解 由a与b－2c垂直， 得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，

即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. [4分]

(2)解 |b＋c|＝(b＋c)＝b＋c＋2b·c＝sinβ＋16cosβ＋cosβ＋16sinβ＋2(sin βcos β－16sin βcos β) ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β， 最大值为32，所以|b＋c|的最大值为42. (3)证明 由tan αtan β＝16， 得sin αsin β＝16cos αcos β，

即4 cos α·4cos β－sin αsin β＝0，故a∥b.

[12分]

[8分]

2

2

2

2

2

2

2

2

第一步：将向量间的关系转化成三角函数式. 第二步：化简三角函数式.

第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式

的性质.

第四步：明确结论.

第五步：反思回顾.查看关键点，易错点和规范

解答.

批阅笔记 (1)本题是典型的向量与三角函数的综合，题目难度中档，属高考的重点题型.

(2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系，转化为三角函数式的问题，利用三角函数解决.

(3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中，学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件.

方法与技巧

1.研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想，这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识；运用三角函数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容.

2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面进行考查.

(1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角)，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题.

(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.

3.加强数学思想方法的考查，转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题. 失误与防范

1.对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围. 2.平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性.