(人教版)2020届高考数学一轮复习 第五章 数列 课堂达标28 等比数列及其前n项和 文 新人教版

∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D. [答案] D

3．(2018·衡水中学第六次调研)各项均为正数的数列{an}首项为，且满足an－anan－1－

2

n(n＋1)a2n－1＝0，公差不为零的等差数列{bn}的前项和为Sn，S5＝15，且b1，b3，b9成等比数

列设cn＝，求数列{cn}的前项和Tn＝______.

[解析] (1)an－anan－1－n(n＋1)an－1＝(an＋nan－1)(an－(n＋1)an－1)＝0，因为{an}各项均为正数，则an＋nan－1>0，∴an－(n＋1)an－1＝0即an＝(n＋1)an－1则an－1＝nan－2，an－2＝(n－1)an－3，…a2＝3a1上面n－1个式子相乘得an＝(n＋1)！，设{bn}的公差d,5b1＋10d＝15，(b1＋2d)＝b1(b1＋8d)，解之得b1＝1，d＝1，bn＝n，cn＝＝－

1

.

n＋1！[答案] 1－

1

n＋1

2

2

2

bnanbnan＝

n＋1！

n1＝

n＋1！n！n！

n·n！

4．(2017·课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是2，接下来的两项是22，再接下来的三项是222，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：

0,1

0,1,2

0

N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A．440 C．220

[解析] 由题意得，数列如下： 1， 1,2， 1,2,4， …

1,2,4，…，2…

则该数列的前1＋2＋…＋k＝＋…＋2)＝2

要使2

k＋1

kk＋1

k－1

B．330 D．110

kk＋1

2

项和为S?

?kk＋1?＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2

?2??

－k－2

>100，有k≥14，此时k＋2<2

t－1

tk＋1

kk＋1

2

，所以k＋2是之后的等比数列1,2，…，

的部分和，即k＋2＝1＋2＋…＋2＝2－1，

5

所以k＝2－3≥14，则t≥5，此时k＝2－3＝29， 对应满足的最小条件为N＝[答案] A

5．(2018·太原二模)已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1－an＝an＋anan＋1，且a2＋a4

＝2a3＋4，其中n∈N.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝

*

2

2

2

t5

29×30

＋5＝440，故选A. 2

nan2n＋1·2

n(n∈N)，若存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得b1，

*

bm，bn成等比数列，求m，n的值．

[解] (1)因为an＋1－an＝an＋anan＋1，即(an＋1＋an)(2an－an＋1)＝0，又an＞0，所以有2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1，所以数列{ an}是公比为2的等比数列，由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2，所以，数列{an}的通项公式为an＝2(n∈N)．

(2)bn＝2

2

2

2

2

n*

nan2n＋1·2

n＝

n?m?2＝1?n?，即

，若b1，bm，bn成等比数列，则????2n＋1?2m＋1?3?2n＋1?

2

3m＋n(2m－4m－1)＝0，所以2m－4m－1＜0，解得1－所以m＝2，此时n＝12.

66*

＜m＜1＋，又m∈N，且m＞1，22

[C尖子生专练]

?1?n已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝??，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n?2?

∈N.

(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； (2)求T2n.

*

an＋211?1?n?1?n＋1

[解] (1)∵an·an＋1＝??，∴an＋1·an＋2＝??，∴＝，即an＋2＝an.

an22?2??2?

11

a2n＋a2n－1

2bn＋1a2n＋2＋a2n＋121

∵bn＝a2n＋a2n－1，∴＝＝＝，

bna2n＋a2n－1a2n＋a2n－12113

∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝?b1＝a1＋a2＝.

22231

∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．

223?1?n－13

∴bn＝×??＝n. 2?2?21

(2)由(1)可知，an＋2＝an，

2

6

11

∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为

221

首项，以为公比的等比数列，∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)

2

?1?n??1?n1?1－???1－???3?2?2??2??

＝＋＝3－n.

1121－1－22

7