09级大一期末高等数学试题答案

7西南财经大学2009——20010学年第一学期

各专业本科

《高等数学（上）》期末闭卷考试题（A）

一．填空题（共10分。每空2分）

1. . 设某产品的需求量Q为价格P的函数，且Q?1000e?0.15P，则需求价格弹性

?(P)?Ed?－0.15p

e2x?12 函数f(x)?的可去间断点是x0 = 0 , 补充定义f (x0) = – 2 ,

x(x?1)则函数f (x)在x0处连续。

3．（难）若y???t?1?dt,则y的极小值为?。

0x12'ft）4设x?f'(t)且y=tf（，又f''(t)存在且不为零。则?（t）dy?____t____。 dx5. 若

lnx12lnx?C. 为f(x)的一个原函数，则?xf?(x)dx??xxx二选择题（共20分。每空2分）

1.（难）当x??时，下列各变量为无穷大量的是（ C ）。

1xsin(1?x2)2(1?x)sin A. B. 221?x1?xx11?x2sin C. (1?x)sin D.

1?x21?x2x22. （难）设数列?an?,?bn?满足limanbn?0,则（ D ）。

n??A. 若an发散，则bn必发散 B. 若an无界，则bn必有界 C. 若an有界，则bn必为无穷小量 D. 若

1为无穷小量，则bn必为无an穷小量

3. 下列极限中能使用罗必达法则的是（ D ）。 A. limsinx

x??xB. limx?sinx

x??x?sinxcosxC. lim

x?0x?1ln(1?ex)D. lim

x???x

4. 设y?f(e?x), 则dy? ( D ).

A. ?f'(e?x)de?x B. f'(e?x)d(?x) C. f'(e?x)e?xdx D.f'(e?x)de?x 5．下列各式错误的是（ C ）。

?A．?2?sinxdx?0

?2B．?D.

1?11?x2dx??2

11??2 C. ?2dx???1xx?111?2?2x4?x2dx?0

f'(x)??1，则（ B ）6. （难）设f(x)的导数在x?2连续，有lim。

x?2x?2A. x?2是f(x)的极小值点 B. x?2是f(x)的极大值点 C. (2,f(2))是曲线y?f(x)的拐点 `mnmn

D. x?2不是f(x)的极值点, (2,f(2))也不是曲线y?f(x)的拐点. 7. 若?f(x)dx?x2?C，则?xf(1?x2)dx?（ D ）。 A. 2(1?x2)2?C C.

1(1?x2)2?C 2B. ?2(1?x2)2?C

1D. ?(1?x2)2?C

28. 若e?x是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?( B ). A e?x(1?x)?C B. e?x(1?x)?C C. e?x(x?1)?C D. ?e?x(1?x)?C 9. 设半径为a，圆心在原点的圆的面积为S，则?A． C.

10. 当（ D ）时，广义积分?ekxdx收敛。

??0a0。 a2?x2dx?（ C ）

1S 81B．S

21S 4D. S

A．k?0 B. k?0

C. k?0

三、计算题（每小题7分，共49分）

sinx?tanx1. 求极限lim 2x?0xsinxD. k?0

解 limsinx?tanxtanx(cosx?1)?limx?0x?0xsinx2xsinx21 ?x?0,sinx?x,cosx?1??x2,tanx?x 5分

21x?(?x2)sinx?tanx12 ?lim?lim??x?0x?0xsinx2x?x22 2分

2. ．设曲线f(x)?x3?ax2?bx?c有一拐点（1，-1），且在x = 0处切线平行于直线y = x，求a，b，c及曲线方程。

解因为(1,?1)是曲线的拐点， f'(x)?3x2?2ax?b, f\x)?6x?2a f\?6?2a?0?a??34分

（）＝f1?1?1?a?b?c?b?c?1 又因为曲线平行与y?x,则f'(0)?b?1?c?0故曲线方程为f(x)?x3?3x2?x. 3分 3．已知方程：ysinx?cos(x?y)确定了y?y(x),求dy。 解．d(ysinx)?dcos(x?y) ?sinxdy?ydsinx??sin(x?y)d(x?y) ?sinxdy?ycosxdx??sin(x?y)?(dx?dy) ?[sinx?sin(x?y)]dy??[ycosx?sin(x?y)]dx

?dy?

1分 2分 1分 2分

ycosx?sin(x?y)dx 1分

sin(x?y)?sinx4. 设y?1?x，求y(n)。 1?x解 由 y?21?x2??2(1?x)?2 , 得 y'????1?21?x1?x(1?x) y\?2?2(1?x)?3, y'''??2?2?3(1?x)?4 4分

…………………

y(n)?2(?1)nn!(1?x)?(n?1). 3分

5. 已知f(x)的一个原函数是xlnx,求?xf\x)dx. 解 因为f(x)的一个原函数是xlnx, 则

x?f(x)d?xln?x C所以两边求导,得 f(x)?lnx?1,且f'(x)?于是

1 2分 x'?'xf'(x)d?x'x(f)?x?'(f)x?dx C4分 (x?f)x(? )f x故

?xf''(x)dx??lnx?C 1分

36．. .计算?dxx211?x2 1312d(t?1)3解 ?3dxx211t???x11?x212211??21?t2??23?2tdt?11?t21

??(1?t)31?nxsin,x?0?7. （不易）设f(x)=?（n为整数），问n取何值时： x??0, x?0（1）f(x)在x?0处连续；（2）f(x)在x?0处可导，并求f'(x)。 解 (1) 当n取1，2，3，… 时，因为

1 limf(x)?lim(xnsin)?0?f(0)

x?0x?0x故f(x)在x?0处连续. 3分

(2) 当n取2，3，4，… 时，因为

f(x)?f(0) lim=limx?0x?0x?0xnsin1x=limxn?1sin1=0

x?0xx即当n=2，3，4，… 时，f(x)在x?0处可导，且