清华大学固体物理：第五章固体能带理论II5.2

5.2恒定电场磁场作用下布洛赫电子的运动 1 恒定电场作用下布洛赫电子的运动 恒定电场中布洛赫电子在k空间的振荡

以一维晶体为例讨论在恒定电场中布洛赫电子的运动。设电场力F = ??qE ( E为电场强度 ) 沿x轴正方向，根据

?dkdt?F (5.2.1)

布洛赫电子在k空间作匀速运动，在准经典运动中，布洛赫电子没有足够的能量从一个能带跃迁到另一个能带，只能保持在同一个能带中运动。由于布洛赫电子的能量E(k) 是k空间的周期函数，布洛赫电子在k空间作匀速运动时，它的能量沿E(k) 函数曲线周期性变化。若用约化布里渊区表示，当电子运动到布里渊区边界 (k = ?/a) 时，由于k = ??/a与k = ?/a相差倒格矢 2??a，实际描述同一个量子态，因此布洛赫电子从k = ??a运动出简约区，实际上同时从k = ??/a运动进入简约区，布洛赫电子在k空间作来回循环运动。

恒定电场中布洛赫电子在r空间的振荡

布洛赫电子在k空间作来回循环运动，能量随时间作周期性变化，由于布洛赫电子的速度是能量E(k) 对k的一阶导数，有效质量的倒数是能量E(k) 对k的二阶导数，表现在其在r空间的运动速度和有效质量也随时间作周期性变化。布洛赫电子速度的周期性变化，意味着它在r空间的振荡。有外电场时，布洛赫电子的能量附加有静电势能，沿x轴正方向下降，能带发生倾斜。设开始时，一能带底部电子在电场力作用下运动到能带顶部，遇到了能隙，相当于存在有一势垒，在准经典运动中，电子局限在同一能带中运动，遇到势垒后将全部被反射回来，速度改变方向，布洛赫电子由能带顶部返回能带底部，这就是布洛赫电子在r空间的振荡。布洛赫电子在运动过程中将要不断受到声子、杂质和缺陷的散射，相邻两次散射之间的平均时间间隔称为电子的平均自由运动时间，用?表示，如果?很小，布洛赫电子来不及完成振荡运动就被散射了，?的典型值为10???秒，布洛赫电子在k空间振荡的圆频率为：

?2??? ??2???aqE?????1?qEa? (5.2.2)

观测到布洛赫电子在k空间振荡的条件为

????1 (5.2.3) 如果取a = 3 ?，需要电场强度E大于2 ? 105 V-cm??。这样高的电场强度在金属中无法实现，而绝缘材料早以被击穿了。因此一般在电场作用下，布洛赫电子在k空间只有一个小位移，而没有振荡运动。 隧道效应

按照量子理论，布洛赫电子遇到势垒时，将有部分穿透势垒，部分被反射回来，穿透几率取决于势垒的高度和宽度。势垒高度为能隙宽度，势垒宽度 约为Eg/qE。穿透几率正比于：

??2?2mEg E exp???????1/2?Eg?????qE?? (5.2.4)

????随着电场强度增强，穿透几率急剧增加。如果下面能带是被电子填满的，或接近填满的，电子在电场作用下很容易到达带顶，如果上面的能带中没有电子，或基本上是空的，可以接纳电子，下面能带中的电子有一定几率穿透能隙而到达上面的能带，这就是通常的隧道效应。隧道效应在很多半导体器件中有重要的应用。

2 布洛赫电子在恒定磁场中的运动

准经典运动 准经典运动的两个基本方程为：

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??k?? ?dkdt1??kE?k? (5.2.5)

???q???k?? B (5.2.6)

沿磁场方向的k分量不随时间变化；因为洛伦兹力不作功，电子的能量不随时间变化。电子的k空间的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线。以自由电子为例。将自由电子的能量代入准经典运动的基本方程：

??k??

dkdt??qm?km (5.2.7)

?k?B? (5.2.8)

若B沿z方向，即B = (0, 0, B)，则分量形式为：

qB?dkx??ky?dtm?dkqB?y ??kx (5.2.9)

dtm??dkz?0 ??dtkz保持不变，电子在kx?ky平面内作匀速圆周运动。回旋频率为 ?0?qBm (5.2.10)

自由电子的等能面是球面，垂直于磁场的平面与等能面的交线是一系列的圆周。应用自由电子波矢和速度之间的正比关系，可得自由电子在r空间的运动方程为：

qB?d?x???y?dtm?d?qB?y??x (5.2.11) ?dtm??d?z?0 ??dt因此电子沿磁场方向的运动速度为常数，在垂直于磁场的x?y平面内作匀速圆周运动，回旋频率仍为?0。综合起来，电子在r空间作沿磁场方向的螺旋运动。 量子理论 没有磁场时，自由电子运动的哈密顿量为 H?存在磁场时，自由电子运动的哈密顿量为 H?12m p222m???2m? (5.2.12)

2?p?qA?2 (5.2.13)

其中A为矢量势，满足B???A，如果取磁场沿z方向，可以取A???By,0,0?，则哈密顿量为 H????p2m1??xx?2?2??p?qByy?pz (5.2.14)

??z2??x??i?因为在哈密顿量中不含x、z，因此p?z??i?与p是对易的，具有共同的本征函数，本征函数

满足

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?波函数可以写成

?x???kx??p?z???kz??p (5.2.15)

??ei?kxx?kzz???y? (5.2.16) 代入薛定谔方程可以得到??y?满足的方程： 变成自变量为y的方程：

22??2????m?qB??? ???????qBkx?y?????y??22m2m?y????????22??kz?E??2m????k2m1x?qBy?2?22?2py??kz??y??E??y? (5.2.17)

?????y? (5.2.18) ??令：?0?qBm, y0??kxqB, ??E??kz2m22，方程变为一维谐振子的运动方程：

??2??m22?????y?y ?????y?????y? (5.2.19) 0022m2?y??上式表明??y?是中心位置在y0，振动圆频率为?0的线性谐振子的波函数： ?n?y?y0??e??02?y?y0?2Hn??0?y?y0?? (5.2.20)

其中Hn??0?y?y0??是厄米多项式，相应的能量本征值为： ?n??n???1????0, n?0, 1, 2, ??? (5.2.21) 2?包括x, z的波函数为

??ei?kxx?kzz??n?y?y0? (5.2.22) 能量本征值为

E??n??kz2m22??kz1????n????0, n?0, 1, 2, ??? (5.2.23) 2m2??22因此，根据量子理论，在x?y平面内的圆周运动对应一种简谐振动，能量是量子化的，这些量子化的能级称为朗道能级。

有效质量的讨论 与自由电子相似，布洛赫电子在磁场中的哈密顿量必须考虑磁场的矢量势： H?12m?p?qA?2?V?r? (5.2.24)

V?r?为布洛赫电子在晶体中的周期势能。严格求解磁场中布洛赫电子的运动方程是很困难的。有些情况

下将周期势场的影响概括成有效质量的变化，称为有效质量近似，哈密顿量简化为： H?12m??p?qA?2 (5.2.25)

这样就将布洛赫电子的运动方程简化为自由电子的运动方程。前面有关自由电子研究的结论，可以推广

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到布洛赫电子，只需要用有效质量m?代替自由电子质量m。例如回旋频率?0?是一个张量。

qBm?。必须注意有效质量

回旋共振 在恒定的外磁场作用下，布洛赫电子（或空穴）作螺旋运动，回旋频率为?0?qBm?。如果在

垂直磁场方向上加上频率为?的交变电场，当???0时，交变电场的能量将被载流子共振吸收，这个现象称为回旋共振。利用回旋共振实验可以测定许多半导体材料导带底和价带顶附近的有效质量。不同的有效质量，在实验上表现为不同的回旋共振频率。为了得到清晰的共振峰，必须满足?0???1，通常必须用高纯晶体在液氦中测量，以便使载流子有足够长的自由运动时间；另外还需要满足??0??kBT，这样在不同朗道能级之间的量子跃迁效应才是显著的。 习题

5.2.1 晶格常数为2.5 ?的一维晶格，当外加102 V/m和107 V/m电场时，分别估算电子自能带底部运动到能带顶部所需要的时间。

5.2.2 已知一维晶体的电子能带可以写成 E?k???22ma1?7???coska?cos2ka? ?8?8其中a是晶格常数，试求(1) 能带宽度，(2) 电子在波矢k的状态时的速度，(3)能带顶部和底部电子

的有效质量。

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