比较实数大小的常用方法

比较实数大小的常用方法

方法一、利用数轴比较

对于给定的任意两个有理数，在数轴上总可找到对应的点，然后依据“右边的数总比左边的数大”的法则，就能确定它们的大小。这种“数形结合”的思想方法，在今后的学习中应用十分广泛，请同学们扎实掌握。

例1. 比较与的大小。

解：在数轴上表示的点在表示的点的右边，如图所示，所以。

方法二、利用已知结论比较

这里的“已知结论”指诸如正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小，等等。利用上面结论比较有理数的大小是最常用的基本方法。

例2. 用“＜”联结下列各数：

解：先将各数与0比较，得

因为，而，所以。

又因为，而，故。

综上得。

方法三、化成同分子比较

例3. 比较的大小。

解：因为，而，知

即

方法四 求差法

求差法的基本思路是设a,b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a-b﹥0时，得到a﹥b.当a-b﹤0时，得到a﹤b。.当a-b＝0,得到a=b。

3?1515例4：（1）比较与的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。

解 ∵

3?15－

15＝

3?25＜0 ∴

3?15＜

15。

解 ∵（1-2）-（1-3）=3?方法五 求商法

2＞0 ∴1-2＞1-3。

求商法的基本思路是设a。b为任意两个正实数，先求出a与b得商。＜1时，a＜b，

ba当

ab＞1时，a＞b.当

3?1515ab15=1时，a=b来比较a与b的大小。

例5： 比较与的大小

解∵

3?15÷=3?1＜1 ∴

3?15＜

15

方法六 倒数法

倒数法的基本思路是设a ,b为任意两个正实数，先分别求出a与b得到书，再根据当＞

1b1a时a＜b，来比较a与b的大小

例6; 比较2004-2003与2005-2004的大小 解 ∵

12004?2003=2004+2003

12005?2004=2005+2004

又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004

方法七 估算法

估算法的基本是思路是设a.b为任意两个正实数，先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

13?3818例7: 比较与的大小

解 ∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴

13?38＜

18

方法八 平方法

平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0,b＞0时，可由a＞

b得到a＞b,来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

22例8: 比较2?6与3?5的大小

解 ∵(2?26)=2+212+6=8+212 (3?25)=3+215+5=8+215

又∵8+212＜8+215 ∴2?方法九 移动因式法

6＜3?5

移动因式法的基本是思路是,当a＞0,b＞0,若要比较形如ab与cd的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较 例9: 比较27与33的大小

2解 ∵27=2*7=28 33=3*3=27

2又∵28＞27 ∴27＞33

除以上六种方法，还有利用数轴上的点及绝对值的方法比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能方便快速地取得令人满意的结果。 方法十、比较被开方数

若a>0,b>0,且a>b,则a?34b.

例10 比较2.8与2的大小.

析解: 根据已知式子的特点,可以将分数化为小数,然后比较被开方数的大小. 因为2

34?2.75<2.8,所以2.8>

234.

方法十一、裂项比较法

将一个数分成两个数的和或差，称之为裂项。

例11. 比较与的大小。

分析：先比较与的大小，前面3种方法都可使用，但因2003、2004、2005三

个数比较大，计算量就比较大，转而考虑与均小于1，但它们比1小多少呢？

解：因为，而故，所以。