第一章质点运动学

s??rd???2?(r2?r1)/d0?(r12?r22)d(r1?)d???5.375?103m

2?d1-16 地面上有一高为20.0m的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午2

时正，杆顶在地面上的影子的速度的大小。在何时刻杆影将伸展至20.0m？

解：地球自西向东自转相当于太阳自东朝西绕地球运动，地球自转一周为24?60?60s故太阳绕地球转动一周也是24?60?60s。所以太阳绕地球转动的角速度为：

??2?rad?s?1

24?60?60从正午开始计时，杆的影长为 s?htan??htan?t

下午2时，杆顶影子的速度大小为

ds??hsec2?t?m?s?1 dt16201s?3?60?60s即为下午3时正。 当s?h时，t?arctan?hv?1-17 一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在t=2.0s时测得轮缘一点的速度为4.0m?s。求（1）该轮在t'?0.5s的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2.0s内所转过的角度。

解：（1）设??kt,v?Rkt,k?22?1v Rt2?1?3将t?2s时，v?4m?s代入上式可得k?2rad?s于是有：

??2rad?s?3t2,v?1m?s?3?t2

t'?0.5s时的角速度：?'?2rad?s?3?(0.5s)2?0.5rad?s?1

t'?0.5s时的切向加速度：at?dv?2m?s?3t?1.0m?s?2 dtt'?0.5s时的总加速度：a?at?an，大小为

2a?at2?an?1?(?2R)2?1.01m?s?2

（2）在2.0s内该点转过的角度

????2??1???dt??(2rad?s?3)t2dt?5.33rad

002s2s1-18 一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角位置为??2rad?(4rad?s)t。求（1）在t=2.0s时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度正好等于法向加速度大小的一半时，?的值为多少？（3）t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

解：（1）根据题意得质点的角速度为???33d??(12rad?s?3)t2 dtt?2.0s时，an?r?2?0.10m?[(12rad?s?3)?(2.0s)2]2?230.4m?s?2

9

d??4.80m?s?2 dt1122an?at2?an?3at2，即 （2）由at?a?22d?2r2?4?3(r)?r2[(12rad?s?3)?t2]4?3[r(24rad?s?3)t]2

dtat?r解得t?123?0.29s

此时刻的角位置为??2rad?(4rad?s?3)t?3?3.15rad

（3）由an?at得r[(12rad?s?3)t2]2?r(24rad?s?3)t，解得t?0.55s

1-19 一无风的下雨天，一列火车以v1?20.0m?s?1的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外雨滴和垂线成75°角下降。求雨滴下落的速度v2（设下降的雨滴作匀速运动）

解：由伽利略变换v?v1?u，即v雨对地?v雨对车?u车对地

设地为参考系，雨对地的速度为v2，火车对地的速度为v1，雨对车的速度为v'2作矢量图得

x ??1v2?v1ctan75?5.36m?s

1-20 设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处，飞机相对空气的速率为v'，而空气相对地面的速率为u，A、B间的距离为l，飞机相对空气的速率v'保持不变。（1）假定空气是静止的（即u?0），试证来回飞行时间为t0?2v1 75° y v2 图1-19 v1 l；（2）假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为v'1u2?1u2?2t1?t0(1?2)；（3）假定空气的速度向北，试证来回飞行的时间为t2?t0(1?2)

v'v'解：以飞机为研究对象，地面为静止参考系s，流动的空气为动参考系s'，AB间的距

离l不变，由速度变换式求出不同情况下，飞机飞行的速度v，即可求出对应的飞行时间。由伽利略变换式vAK?vAK'?vK'K，得

（1）u?0时，v?v1,v?v'所以t0?tAB?tBA?（2）u的方向向东时，v?v'?u

2l v'vAB?v'?u(v'与u的方向相同)；vBA?v'?u(v'与u的方向相反)

所以，t1?tAB?tBA

llu2?1???t0(1?) v'?uv'?uv'10

（3）u的方向向北时，v?u，由图可知v?v'2?u2

2lu2?2所以t2??t0(1?2)

vv'1-21 如图11-21所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为v1，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向θ角，其速率为v2，若车后有一方形物体，问车速v1为多大时，此物体正好不被

1u A vAB v’ vBA v’ u B 图1-20

雨淋湿？

解：选择雨点为研究对象，地面为静止参考系s，汽车为动参考系s’，由速度变换公式确定v1,v2,v2'之间的关系，可求出v1。其中v1为汽车相对地面的速度，v2为雨相对地面的速度，v2'为雨相对汽车的速度。由vAK?vAK'?vK'K可得

由v2?v2'?v1矢量图如图1-21所示，由图可得tan??v1?v2sin?，若要物体不被雨

v2cos?淋湿，则满足??arctan得

v?v2sin?ll，只需1?，由此可hv2cos?hv’2 α θ v2 图1-21 v1 v1?v2(lcos??sin?) h?11-22 一人能在静水中以1.10m?s的速度划船前进。今

预横渡一宽为1.00?10m、水的流速为0.55m?s 的大河。（1）他若要从出发点横渡该河而达到正对岸的一点，，那么应如何确定划行方向？达到对岸需要多长时间？（2）如果希望用最短的时间通过，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？

解：以河岸为参考系，水对岸的速度为u，人对岸的速度为

3?1v'，人对水的速度为v。

（1）由图1-22所示，船横渡：

v1 上游 v α u 图1-22

下游 v?u，其矢量关系图可知

??arcsinu?ss?rad,t???1.05?103s v'6vv'cos??（2）用最短的时间过河，即v'cos?最大。由于v'一定，当??0时，所用的时间最

11

短。最短时间为t'?s?0.909?103s v'2船到对岸处的位置为下游l处，l?u?t'?5.0?10m

12gt，质点运动2的轨迹抛物线。若另一观察者O'以速率v沿x轴正向相对于O运动。试问质点相对O'的轨

1-23 一质点相对观察者O运动，在任意时刻t。其位置为x?vt,y?迹和加速度如何？

解：在Oxy坐标系中，质点的运动轨迹为r，

r?xi?yj?vti?的运动轨迹为r'，则

12gtj，由于O'相对于O的速度为v，则在O'坐标系中看到质点2O x 1r?r'?vti,r'?r?vti?0i?gt2j

2所以，质点在O'坐标系中，

O' y x' v d2r'?gj 质点的加速度a'为a'?dt2

y' 图1-23 12