第二章 函数、导数及其应用 复习讲义

1

图象如图所示，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是( )

f?x?A．在[－1,1]上单调递减 B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 C．在[5,7]上单调递减 D．在[3,5]上单调递增 3．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是( )

3333

0，? B.?－∞，? C.?，3? D.?，＋∞? A.?2??2???2??2?2x

4．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是______________．

x＋1

?1??＜f(1)，5．已知函数f(x)为R上的减函数，若m＜n，则f(m)________f(n)；若f?则实数x的取值范围是________． ??x??

考点一 函数单调性的判断(基础型考点——自主练透)

[方法链接]

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：

提醒：可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．

[题组集训]

1．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0”的是( )

11

A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－4x＋4 C．f(x)＝2x D．f(x)＝logx

22ax

2．判断并证明函数f(x)＝2(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．

x－1考点二 确定函数的单调性(区间)(重点型考点——师生共研)

【例】 (1)函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

(2)(2016·天津模拟)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是( )

11

0，? B．[a，1] C．(－∞，0)∪?，＋∞? D．[a，a＋1] A.??2??2?

互动探究1 若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？

互动探究2 若将本例题(2)中的“0＜a＜1”改为“a＞1”，则函数g(x)的单调递减区间如何？ 【名师说“法”】

1.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 2．求复合函数＝f(g(x))的单调区间的步骤：

①确定函数的定义域．

②将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)． ③分别确定这两个函数的单调区间．

④若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”． 提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结 跟踪训练

1，x＞0，??

1．设函数f(x)＝?0，x＝0，

??－1，x＜0，

g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是( )

A．(－∞，0] B．[0,1) C．[1，＋∞) D．[－1,0] 1

2．(2016·太原一模)函数y＝log(2x2－3x＋1)的递减区间为( )

2

313

－∞，? C.?，＋∞? D.?，＋∞? A．(1，＋∞) B.?4???2??4?考点三 函数单调性的应用(高频型考点——全面发掘)

[考情聚焦]

高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中． 函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；

(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；

(4)利用单调性求参数的取值范围或值． 角度一 求函数的值域或最值

x， x≤1，??

1．(2015·高考浙江卷)已知函数f(x)＝?6则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．

??x＋x－6， x＞1，角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小

1

2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )

1－x

2

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0 角度三 解函数不等式

3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )

A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8) 角度四 利用单调性求参数的取值范围或值

?a－2?x，x≥2，??f?x1?－f?x2?4．已知函数f(x)＝??1?x满足对任意的实数x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围为

x1－x2－1，x＜2???2?1313

－∞，? C．(－∞，2] D.?，2? ( )A．(－∞，2) B.?8???8?

[通关锦囊]

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．

[题组集训]

1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )

1111

A．a＞－ B．a≥－ C．－≤a＜0 D．－≤a≤0

4444

???3a－1?x＋4a，x＜1，

2．(2016·重庆模拟)已知f(x)＝?是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )

?logx，x≥1?a

1111

0，? C.?，? D.?，1? A．(0,1) B.??3??73??7?

x－5

3．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )

x－a－2

A．a＝－3 B．a＜3 C．a≤－3 D．a≥－3

??2－a?x＋1，x＜1，?f?x1?－f?x2?

4．已知f(x)＝?x满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是________．

x－x12?a，x≥1，?

思想方法2 转化与化归思想在求解函数不等式中的应用

典例 (2016·西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4. 即时突破 (2016·合肥模拟)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数．(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.

[课堂小结]

【方法与技巧】

(1)可以根据定义判断或证明函数的单调性．

(2)求函数的单调区间：首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质；利用导数的性质． (3)复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减． 【失误与防范】

(1)函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．

1

(2)两函数f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正

f?x?负有关，切不可盲目类比．

课时活页作业(五)

[基础训练组]

1．函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )

1

A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)

x

2．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )

33330，? B.?0，? C.?0，? D.?0，? A.??4??4??4??4?

3．(2016·牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )

1??3??2??2?＜f?3?＜f?1? C．f?2?＜f?1?＜f?3? D．f?3?＜f?2?＜f?1? A．f?＜f＜f B．f?3??2??3??3??2??3??3??3??2??2??3??3?

2

??x＋4x，x≥0，

4．已知函数f(x)＝?若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( ) 2

?4x－x，x＜0?

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

f?x?

5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )

x

A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 6．(2014·天津高考)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．

ax＋17．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．

x＋2a

8．(2016·荆州质检)函数f(x)＝|x3－3x2－t|，x∈[0,4]的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时，g(t)的最小值为_____． x9．已知f(x)＝(x≠a)，(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

x－a

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

10．(2016·赣州市十二县(市)联考)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)