第二章 函数、导数及其应用 复习讲义

角度四 构建高次函数或复杂的分式结构函数模型

4．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电k

费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为

20x＋100常数)．记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式． (2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？

[类题通法]

解函数应用问题的“4步骤”

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：

提醒：注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果在实际问题中的合理性．

[题组集训]

1．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以x2

近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．

5

(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时12

间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

42

(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 考点四 分段函数模型(高频型考点——全面发掘)

【例2】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似

地表示为

?3x－80x＋5 040x，x∈[120，144?，

y＝?1

?2x－200x＋80 000，x∈[144，500]，

3

2

2

1

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200

元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

活学活用 (2016·青岛模拟)已知一家公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需另投入2.7万元，设该公司一年内生产该产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且

?R(x)＝?1081000

?x－3x，x＞10.

21

10.8－x2，0＜x≤10，

30

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大？

思想方法9 分类与讨论思想在函数实际问题中的应用

典例 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

即时突破 (2016·太原模拟)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．

(1)当商品的销售价格为每件多少元时，月利润余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

[课堂小结]

【方法与技巧】

1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；

2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值． 【失误与防范】

1．函数模型应用不当是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础．

2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．