第二章 函数、导数及其应用 复习讲义

第1节 函数及其表示

◆考纲·了然于胸◆

1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．

[要点梳理]

1．函数与映射的概念

两集合A、B 对应关系f：A→B 名称 记法 函数 设A，B是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)(x∈A) 映射 设A，B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 质疑探究：函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗？

提示：是．函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R.

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. π

(5)y＝tan x的定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}．

2

(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}．

[小题查验]

1．给出下列命题：

①函数是建立在其定义域到值域的映射；

②函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点； ③函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数；

④若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数． 其中正确的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 1，x＞0，??

2．(2015·高考湖北卷)已知符号函数sgn x＝?0，x＝0，

??－1，x＜0.

f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )

A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]

3．(2016·潍坊模拟)下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{x|0≤x≤1}为值域的函数的是( )

4．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．

5．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.

考点一 函数的概念(基础型考点——自主练透)

[方法链接]

函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．

[题组集训]

1．下列所给图象是函数图象的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )

A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2

x2－1

C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1

x－1考点二 求函数的解析式(重点型考点——师生共研) 2?

【例】 (1)已知f??x＋1?＝lg x，则f(x)＝________.

(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为________． (3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则函数f(x)的解析式为________． 【名师说“法”】 函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

1?(4)消去法：已知关于f(x)与f??x?或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 跟踪训练

(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.

(2)已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.则f(x)的解析式为________． 考点三 函数的定义域(高频型考点——全面发掘)

[考情聚焦]

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．

常见的命题角度有：

(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题． 角度一 求给定函数解析式的定义域 1．函数f(x)＝

1－|x－1|

(a＞0且a≠1)的定义域为________．

ax－1

1

1＋?＋1－x2的定义域为________． 2．(2013·安徽高考)函数y＝ln??x?角度二 求抽象函数的定义域

f?2x?

3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )

x－1

A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) 4．若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )

A．[－1,1] B．[1,2] C．[10,100] D．[0，lg 2] 角度三 已知定义域确定参数问题

5．(2016·合肥模拟)若函数f(x)＝x2＋2ax－a的定义域为R，则a的取值范围为________．

[通关锦囊]

求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 提醒：(1)如果所给解析式较复杂，切记不要化简后再求定义域． (2)所求定义域须用集合或区间表示．

[题组集训]

x2－5x＋6

1．(2015·高考湖北卷)函数f(x)＝4－|x|＋lg的定义域为( )

x－3

A．(2,3) B．(2,4] C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]

2．(2016·湖南省五市十校联考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________． 3．已知f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域为________． 考点四 分段函数及应用(高频型考点——全面发掘) 角度一 求函数值问题

??log3x，x＞0，1．已知f(x)＝?x且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )

??a＋b，x≤0，

A．－2 B．2 C．3 D．－3 角度二 解方程或解不等式问题

?2x1－2，x≤1?

2．(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝?，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )

?－log?x＋1?，x＞1?2

－

7531

A．－ B．－ C．－ D．－

4444

1??2x＋1，x≤0，

3．(2016·榆林二模)已知f(x)＝?使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．

??－?x－1?2，x＞0，角度三 求最值或值域问题

4．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________． 角度四 图象及其应用

1??log2x，x＞0，

5．(2016·北京顺义二模)已知函数f(x)＝?若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的

x??2，x≤0，取值范围是( )A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0,1]

[通关锦囊]分段函数应用的常见题型与求解策略：

重点题型 破解策略