1994年全国高中数学联合竞赛试题

1994年全国高中数学联赛试题

第 一 试

一、选择题(每小题6分，共36分)

1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x, 不等式asinx?bcosx?c?0.都成立的充

要条件是 (A)a,b同时为0,且c>0 (B)a2?b2?c

(C)a2?b2?c (D)a2?b2?c

2、给出下列两个命题：(1).设a,b,c都是复数，如果a2?b2?c2,则

a2?b2?c2?0.(2).设a,b,c都是复数，如果a2?b2?c2?0,则a2?b2?c2.那么下述说法正确的是

(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确

3、已知数列{an}满足3an?1?an?4(n?1),且a1?9,其前n项之和为Sn,则满足

1不等式|Sn?n?6|?的最小整数n是

125 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

?4、已知0?b?1,0?a?,则下列三数:x?(sina)logbsina,y?(cosa)logbcosa,

4z?(sina)logbcosa的大小关系是

(A)x

n?2n?1?n?2n?1?,?) (B)(?,?) (C)(0,) (D)(?,?) (A)(nnnn2|x?y||x?y|??1(a,b是不相等的两个正数)所代6、在平面直角坐标系中,方程2a2b表的曲线是

(A)三角形 (B)正方形

(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分，共54分)

1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(?1,1)和(2,2)，若直线l:x?my?m?0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是______.

?x3?sinx?2a?02.已知x,y?[?,],a?R且?3则cos(x?2y)=_____.

44?4y?sinycosy?a?053.已知点集A?{(x,y)|(x?3)2?(y?4)2?()2},

2??5B?{(x,y)|(x?4)2?(y?5)2?()2},则点集A?B中的整点(即横、纵坐标均

2为整数的点)的个数为_____.

?4.设0????,则sin(1?cos?)的最大值是______.

25.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于?,则sin?=___

6.已知95个数a1,a2,a3,?,a95, 每个都只能取+1或?1两个值之一,那么它们的两两之积的和a1a2?a1a3???a94a95的最小值是___.

第 二 试

一、(本题满分25分) x的二次方程x2?z1x?z2?m?0中,z1,z2,m均是

2复数，且z1?4z2?16?20i，设这个方程的两个根?,?满足|???|?27,求|m|的最大值和最小值。

二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。

三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I, ?B?60?,?A??C,?A的外角平分线交圆O于E,证明:

EA(1) IO=AE (2) 2R?IO?IA?IC?(1?3)R

O I CB

四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集P?{P1,P2,?,P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G). (1)求m(G)的最小值m0

(2)设G*是使m(G*)?m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形。