北京市东城区2020届高三二模数学试题及答案

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Tn654321O123B1A234nTn654321O123A1234nB654321O123Tn12B34nA

图① 图② 图③

（18）（本小题14分）

某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了A,B,C,D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a,b.

项目 计划招募人数 报名人数 A B C D 50 60 80 160 100 a b 200 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记?为甲同学最终被招募的项目个数，已知

P(??0)?11,P(??4)?. 4010（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；

（Ⅱ）求a，b的值；

（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目D，试判断E?如何变化(结论不要求证明).

(19) （本小题14分）

3x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个顶点坐标为A(0,?1)，离心率为．

ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线y?k(x?1)(k?0)与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，

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点B(1,0)，求证：点M不在以AB为直径的圆上．

（20）（本小题15分）

已知f(x)?e?sinx?ax(a?R).

x0)上单调递减； （Ⅰ）当a??2时，求证：f(x)在(??，（Ⅱ）若对任意x?0，f(x)?1恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若f(x)有最小值，请直接给出实数a的取值范围.

（21）（本小题14分）

L，bn. 已知ai，bj??01L，an，B：b1，b2，设数列：A：a1，a2，，??x11x12?x21x22（i?1,2,L,n;j?1,2,L,n），定义n?n数表X(A，B)???MM??xn1xn2?1ai?bj， xij??0a?b，ij?（Ⅰ）若A:1,1,1,0，B:0,1,0,0，写出X(A，B);

LLx1n??x2n?，其中?MM?Lxnn?（Ⅱ）若A，B是不同的数列，求证：n?n数表X(A，B)满足“xij=xji（i?1,2,L,n;j?1,2,L,n;i?j）”的充分必要条件为“ak?bk?1(k?1,2,L,n)”;

n2（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个, 求证：n?n数表X(A，B)中1的个数不大于.

2（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（二）

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数学参考答案及评分标准 2020.6

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）B （2）C （3）A （4）D （5）B （6）B （7）B （8） A （9）C （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）?1?i （12）?1 （13）①② （14）①③④，（15）5

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD中，AD//BC，CD?BC，BC?1，AD?2，

7，或者②③④，2 2E为AD中点，

所以 BE?AD.

故 图②中，BE?A1E，BE?DE.

又 因为A1EIDE?E，A1E，DE?平面A1DE，

所以 BE?平面A1DE.

又 因为BE?平面A1EB， 所以 平面A1EB?平面

A1DE. ……………6分

o（Ⅱ）解： 由?A1ED?90得A1E?DE，

zA1又 A1E?BE，BE?DE,

因此，建立如图所示的空间直角坐标系E?xyz．

由A1E?CD?DE?1，

得A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，

EBCDyD(0,1,0)，

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uuuruuur A,0,?1)，A1D?(0,1,?1)， 1B?(1设平面A1BD的法向量为n?(x,y,z)， uuur?n?A1B?0，?x?z?0，则 ?即?令z?1得x?1,y?uuur??n?A1D?0，?y?z?0，?1，

所以 n?(1,1,1)是平面A1BD的一个法向量. 又 AC?(1,1,?1), 1uuur设直线A1C与平面A1BD所成角为?， 所

以

uuuruuur|n?AC|111sin??|cos?n,AC?|???uuur1． …

33?3|n||AC|1…………14分

（17）（本小题14分）

解：（Ⅰ）由S3?3a2?1，得a1?2a2，即

因为a3?0， 所以q?所

a32a3?， q2q1，a1?4. 2以

1??4?1?n?12??Sn???8?1?n1?21?2…………6分

?3?n??8?2. ……………………?T1?b1?1，T3??3， （Ⅱ）由图①知：可判断d?0，数列{bn}是递减数列；而8?23?n递增，由于b1?S1，

所以选择①不满足“存在n，使得bn?Sn”

由图②知：T1?b1?1，T3?6，可判断d?0，数列{bn}是递增数列； 由图③知：T1?b1??3，T3?0，可判断d?0，数列{bn}是递增数列.

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