2016新课标三维人教A版数学选修2-3 阶段质量检测(二) 随机变量及其分布

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

解析：从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中任意两个事件不可能同时发生，1135

即A1，A2，A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，则P(B|A1)＝，

25101144

P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)

11111514349

＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误．综上知，正确

211511101122结论的序号为②④．

答案：②④

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率为99．74%，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？

解：因为X～N(1 000,302)， 所以μ＝1 000，σ＝30．

所以P(1 000－3×30

所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上．

18．(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．

(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．

解：(1)由题意知必须从1号通道走出迷宫，ξ的所有可能取值为：1,3,4,6． 1111111111P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝A22×××1＝， 3326326323所以ξ的分布列为：

ξ P

11117

(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)．

36632

19．(本小题满分12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任

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1 1 33 1 64 1 66 1 3

选3人参加某省举办的演讲比赛活动．

(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；

(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．

1

C3C21344C2解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ

C65C652

C114C2＝2)＝3＝．

C65

∴ξ的分布列为

ξ P

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C， C3414则P(C)＝3＝＝．

C6205

14

∴所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－＝．

55C2C11014254(3)P(B)＝3＝＝；P(B|A)＝2＝＝．

C6202C5105

20．(本小题满分12分)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来该市的3名工人相互独立地从60个项目中任选一个项目参与建设．

(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；

(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．

解：记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)．

301201

由题意知，P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，

602603P(Ci)＝

101

＝． 606

0 1 51 3 52 1 5(1)3人选择的项目所属类别互异的概率 11113

P＝A3P(A1B2C3)＝6×××＝．

2366

112

(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率P＝＋＝．

26323，?， 由X～B??3?版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn

2k?2?k?1－?3－k(k＝0,1,2,3)， ∴P(X＝k)＝C3

?3??3?∴X的分布列为

X P 0 1 271 2 92 4 93 8 272其数学期望为E(X)＝3×＝2．

3

21．(本小题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0．6,0．5,0．5，假设各盘比赛结果相互独立．

(1)求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F， 则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件． 因为P(D)＝0．6，P(E)＝0．5，P(F)＝0．5，

由对立事件的概率公式知P(D)＝0．4，P(E)＝0．5，P(F)＝0．5． 红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF． 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为

P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0．6×0．5×0．5＋0．6×0．5×0．5＋0．4×0．5×0．5＋0．6×0．5×0．5＝0．55．

(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3．

又由(1)知DEF，DEF，DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0．4×0．5×0．5＝0．1，

P(ξ＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0．4×0．5×0．5＋0．4×0．5×0．5＋0．6×0．5×0．5＝0．35．

P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0．6×0．5×0．5＝0．15． 由对立事件的概率公式得

P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0．4． 所以ξ的分布列为：

ξ P

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0 1 2 3 0．1 0．35 0．4 0．15

因此E(ξ)＝0×0．1＋1×0．35＋2×0．4＋3×0．15＝1．6．

22．(本小题满分12分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间(分) 频率

从第一个顾客开始办理业务时计时．

(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望． 解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

Y P

(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．

所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0．1×0．3＋0．3×0．1＋0．4×0．4＝0．22．

(2)X所有可能的取值为0,1,2．

X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0．5；

X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，

所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2) ＝0．1×0．9＋0．4＝0．49；

X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0．1×0．1＝0．01． 所以X的分布列为

X P 0 1 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0．1 0．4 0．3 0．1 0．1 0．1 0．4 0．3 0．1 0．1 0．5 0．49 0．01 E(X)＝0×0．5＋1×0．49＋2×0．01＝0．51． 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn