2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第51讲 双曲线

以a2得3e2－23e－3＝0，解得e＝3或e＝－

3

(舍去)，故选A. 3

x22

11．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若

2→→

MF1·MF2<0，则y0的取值范围是( )

A.?－

?

33?

，33?

B.?－

?

33? ，

66?2323? ，33?C.?－

?

2222? ，

33?D.?－

?

解析：选A.由题意知a＝2，b＝1，c＝3， 设F1(－3，0)，F2(3，0)，

→→

则MF1＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(3－x0，－y0)． →→

因为MF1·MF2<0，

所以(－3－x0)(3－x0)＋y20<0，

2即x20－3＋y0<0.

因为点M(x0，y0)在双曲线C上， x2022所以－y20＝1，即x0＝2＋2y0， 2

2所以2＋2y20－3＋y0<0，所以－

33

x2y2

12．(2019·四川南充模拟)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双

ab曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )

A．(1，2) B．(2，2＋2) C．(2，2)

D．(1，2)∪(2＋2，＋∞)

x2y2

解析：选D.设双曲线：2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)，

ab

22bbb2

???令x＝－c，可得y＝±，可设A??－c，a?，B?－c，－a?. a

b2?→?

又设D(0，b)，可得AD＝?c，b－a?. 2b2?→?b2?→?

AB＝?0，－a?，DB＝?－c，－b－a?.

由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．

b2?2b2?→→

当∠DAB为钝角时，可得AD·AB<0，即为0－·?b－a?<0，化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2.

ac→→

可得c2<2a2，即e＝<2.又e>1，可得1

a

22bb?＋b??－b?<0，化为c4－4a2c2＋2a4>0，由e＝c， ?a??a?a

可得e4－4e2＋2>0.又e>1，可得e>综上可得，e的范围为(1，2)∪(

2＋2.

2＋2，＋∞)．故选D.

x2y2

13．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为

ab________．

b4

解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，

a3c2－a216b216222

所以2＝.又b＝c－a，所以2＝，

a9a9即e2－1＝5答案： 3

x2y2

14．双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B

ab为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

x2y2b

解析：双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由

abab

双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝22，所以a2＋b2＝c2＝(22)2，

a解得a＝2.

答案：2

x2y2

15．(2019·武汉调研)已知点P在双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上，PF⊥x轴(其中F为双曲线

ab1

的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为________．

3

2b?解析：由题意知F(c，0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P??c，a?，双曲线渐近

16255

，所以e2＝，所以e＝. 993

b??b·c－a·a??

a2＋b21222

线的方程为bx±ay＝0，由题意，得2＝，解得c＝2b，又c＝a＋b，所以a＝3b，b3?b·c＋a·?a??

a2＋b2

c2b23

所以双曲线的离心率e＝＝＝.

a33b

答案：

23

3

2

16．(2019·长春监测)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝________．

解析：如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.

答案：1

[综合题组练]

x2y251．(一题多解)已知双曲线C：2－2＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭

ab2x2y2

圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( ) 123

x2y2

A.－＝1 810x2y2

C.－＝1 54

x2y2

B.－＝1 45x2y2

D.－＝1 43

x2y2x2y2

解析：选B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝

454k5kx2y2

1，因为双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方

123x2y2

程为－＝1.故选B.

45

x2y2x2y2

法二：因为椭圆＋＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以a2

123123

＋b2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y＝x2y2

4，b＝5.所以双曲线C的方程为－＝1.

45

2

5b5

x，所以＝②，联立①②可解得a2＝2a2

x2y2

2．(2019·郑州模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a＞b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交

ab于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为( )

1

A．y＝±x

4C．y＝±2x 2

1

B．y＝±x

2D．y＝±2x 4

解析：选B.以原点为圆心，半径长为5的圆的方程为x2＋y2＝5，双曲线的两条渐近线方程bb

x，x?， 为y＝±x，不妨设M??a?a

b

因为四边形MNPQ的面积为8，所以4x·x＝8，

aa

所以x2＝2，

b

bb

x，x?代入x2＋y2＝5，可得x2＋2x2＝5， 将M??a?a所以

2a2b

＋＝5，a＞b＞0， ba

2

b1

解得＝，故选B.

a2

x2y2

3．(2019·石家庄模拟)以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦

95→→PF1·MF1

点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足

→|PF1|→→F2F1·MF1＝，则S△PMF1－S△PMF2＝( )

→|F2F1|

A．2 C．1

B．4 D．－1

→→→→PF1·MF1F2F1·MF1x2y2

解析：选A.由题意，知双曲线方程为－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，

45→→

|PF1||F2F1|→→→→

F1P·F1MF1F2·F1M可得＝，即F1M平分∠PF1F2.

→→→→|MF1||F1P||MF1||F1F2|

又结合平面几何知识可得，△F1PF2的内心在直线x＝2上，所以点M(2，1)就是△F1PF2的