2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第51讲 双曲线

b4b2b

所以b－2＝0，故2＝1，即＝1.

aaa

2

b

又双曲线的渐近线的斜率为±，

a故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.

[基础题组练]

x2y21．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )

25－kk－9A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

x2y2

解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或

25－kk－9k>25，

x2y2

所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.

25－kk－9

x2y2

2．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为

ab( )

A．y＝±2x C．y＝±2x 2

B．y＝±3x D．y＝±3x 2

b

c2－a2＝2a，所以＝

a

c

解析：选A.法一：由题意知，e＝＝3，所以c＝3a，所以b＝

ab

2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，故选A.

ac

法二：由e＝＝ax，故选A.

2b?＝3，得b＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bx＝±21＋??a?aa

x2y2

3．(一题多解)已知方程2－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，

m＋n3m2－n则n的取值范围是( )

A．(－1，3) C．(0，3)

B．(－1，3) D．(0，3)

解析：选A.法一：由题意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，

所以2c＝2×|2m|＝4，所以|m|＝1， x2y2

因为方程2－＝1表示双曲线，

m＋n3m2－n所以(m2＋n)·(3m2－n)>0，

所以－m2

??

所以?3m－n>0，

??m＋n＋3m－n＝4，

22

2

m2＋n>0，

①

??

或?3m－n<0， ??－（3m－n）－（m＋n）＝4，

2

2

2

m2＋n<0，

②

由①得m2＝1，n∈(－1，3)．②无解．故选A.

x2y2x2y2

4．若双曲线C1：－＝1与C2：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距

28ab为45，则b＝( )

A．2 C．6

B．4 D．8

a2＋b2＝25?b＝4，故选

b

解析：选B.由题意得，＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝45?c＝aB.

x2y2

5．(一题多解)(2019·开封模拟)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2

ab＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )

A.5 C.5＋1

B.D.5 25＋1

2

解析：选A.法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，

因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的1

中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的性

2

质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝5，故选A.

法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝

b?1＋??a?＝5.

2x22

6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F

3的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )

3A. 2C．23

B．3 D．4

x223

解析：选B.因为双曲线－y＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点

33F的直线与直线y＝

3

x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝3

60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，

??y＝－3（x－2），?x＝2，?3，3?，所以|OM|＝由?得所以M?33?22?y＝x，?y＝，?3?2

以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.

3

22?3?＋?3?＝3，所?2??2?x2y2

7．(2019·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2－2＝

ab1(a>0，b>0)的离心率为5，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )

x2y2

A.－＝1 28x2y2

C.－＝1 416

x22

B.－y＝1 4y2

D．x－＝1

4

2

解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为5，所以 y2

方程为x－＝1，故选D.

4

2

b21＋2＝5，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的a

x2y2

8．(2019·河北邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦

ab点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为

( )

A．2＋6 C．2＋2

B.2＋6 D.2＋2

解析：选D.由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±a2b2，所以2·b2－a2

a2b2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2

22b－a

2＋2，故选D.

＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝

x2y2

9．(2019·贵阳模拟)过双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线

ab→→

FM(切点为M)，交y轴于点P，若PM＝2MF，则双曲线的离心率为( )

A.2 C.3

B.6 2

D．2

2→→?解析：选B.设P(0，3m)，由PM＝2MF，可得点M的坐标为??3c，m?，因为OM⊥PF，所以m3m22

·＝－1，所以m2＝c2，所以M?c，± 2－c9?3c3

2

2

2

2c2?，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c9?c?2c22c622

得，a＋?＋＝c，a＝c，所以e＝＝，故选B. ?3?93a2

x2y2

10．(2019·石家庄模拟)双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作

ab倾斜角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是( )

A.3 C．2

B.2 D.3 3

解析：选A.由题意可知F1(－c，0)，设A(0，y0)，因为A是F1B的中点，所以点B的横坐

2b?标为c，又点B在双曲线的右支上，所以B??c，a?，因为直线F1B的倾斜角为30°，所以

3b23

＝，化简整理得＝，又b2＝c2－a2，所以3c2－3a2－23ac＝0，两边同时除

2ac3c－（－c）3

b2

－0a