2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第51讲 双曲线

y2x2

答案：－＝1

2575

y22

3．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是

4________．

y22x2y2

解析：设所求双曲线的标准方程为－x＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ

4λ4λx2y2

＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

520

x2y2

答案：－＝1

520

双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长

5x2y2

已知离心率为的双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M

2ab

是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )

A．32 C．84

B．16 D．4

bca2＋b2

b

【解析】 由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝

a＝b，所以|OM|＝

1c

c2－b2＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝

2a

5

，所以a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B. 2

【答案】 B

角度二 求双曲线的渐近线方程

x2y2x2y2

(1)(2019·武汉调研)已知双曲线C：2－2＝1(m>0，n>0)的离心率与椭圆＋＝1

mn2516

的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )

A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0

C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0

x2y2

(2)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，

abB，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )

A．y＝±3x C．y＝±2x

B．y＝±D．y＝±3x 32x 2

b231－2＝， a5

【解析】 (1)由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，所以椭圆的离心率e＝所以双曲线的离心率为x，即4x±3y＝0.故选A.

(2)如图所示，连接OA，OB，

n25n4n4

1＋2＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±m3m3m3

x2y2

设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．

ab

11

由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×

22120°＝60°.

因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°. 因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，

在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a， 所以b＝

c2－a2＝

（2a）2－a2＝3a，

x2y2

故双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为

abb

y＝±x，即y＝±3x.

a【答案】 (1)A (2)A

角度三 求双曲线的离心率(或范围)

x2y21

(1)(2019·惠州模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则

ab2

双曲线C的离心率为( )

A.5

2

B.3 2

C.2 D.5

x2y2

(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是

ab

坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为( )

A.5 C.3

B．2 D.2

bb1

【解析】 (1)由题意得，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，得＝，又a2＋b2＝c2，所以

aa2c5

5a2＝4c2，所以e＝＝，故选A.

a2

bb

(2)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝

aa

|bc|a＋b

2

2

＝b，在Rt△F2PO

中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝6a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据a2＋c2－（6a）2a

余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2

2accc

＝c2，所以e＝＝3.

a

【答案】 (1)A (2)C

与双曲线几何性质有关问题的解题策略

(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．

(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．

(3)求双曲线方程：依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．

(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．

x2y2

1．(2019·山东青岛模拟)直线l：x－2y－5＝0过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与

ab其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )

x2y2

A.－＝1 205x22

C.－y＝1 4

x2y2

B.－＝1 520y2

D．x－＝1

4

2

b1

解析：选A.根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲

a2x2y2

线的方程为－＝1.

205

x2y2

2．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)设双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，

ab直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为( )

A．5 5C. 3

B.5 5D. 4

解析：选A.根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5，0)，可知半焦距c＝5， 设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，

如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，

又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝ |FF2|2－|PF2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以

c

a＝1，故e＝＝5.故选A.

a

x2y2

3．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2

ab的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )

1

A．y＝±x

2C．y＝±x 解析：选C.

如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直bb

c，?，?c，－?.又于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为?a??a??A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)．

b2?→?b2?→?

所以A1B＝?c＋a，a?，A2C＝?c－a，－a?. →→

因为A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0， b2b2

即(c＋a)(c－a)－·＝0，

aab4

即c－a－2＝0，

a

2

2

2

2

B．y＝±2x 2

D．y＝±2x