2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第51讲 双曲线

第6讲 双曲线

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线． (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线． (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2－＝1 a2b2(a＞0，b＞0) y2x2－＝1 a2b2(a＞0，b＞0) 图 形 范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 实虚轴 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 A1(－a，0)，A2(a，0) by＝±x ace＝，e∈(1，＋∞) a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 A1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x ba、b、c 的关系 3.等轴双曲线及性质 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．

(2)等轴双曲线?离心率e＝2?两条渐近线y＝±x相互垂直．

导师提醒

关注双曲线的几个常用结论

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

2b2

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短a的为实轴，其长为2a.

4．设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率b2

存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为2.

a

5．P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·

1

，其中θ为∠F1PF2.

θtan2

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．( ) x2y2

(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )

mn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√

(教材习题改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 C．4

2

2

B．22 D．42

x2y2

解析：选C.双曲线2x－y＝8的标准方程为－＝1，故实轴长为4.

48 (教材习题改编)双曲线方程x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.?

?

2?，0 2?6?，0 2?

B.?

?

5?，0

2?

C.?

?

D．(3，0)

x2y2

解析：选C.因为原方程可化为－＝1，

11

2

136

所以a2＝1，b2＝，所以c2＝a2＋b2＝，所以右焦点坐标为?，0?.

22?2?

x2y2

若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．

2＋mm＋1

x2y2

解析：因为方程－＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)>0，即m>－1或m<－2.

2＋mm＋1答案：m>－1或m<－2

x2y2

设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则

1620|PF2|＝________．

解析：由题意知|PF1|＝9

答案：17

x2y2

以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．

43

x2y2x2y2

解析：设要求的双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1，0)，

ab43顶点为(±2，0)．

所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)． 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3， y2

所以双曲线标准方程为x－＝1.

3

2

y2

答案：x－＝1

3

2

双曲线的定义(多维探究) 角度一 利用定义求轨迹方程

已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相

外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．

【解析】 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得

|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，所以

|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，

其中a＝1，c＝3，则b2＝8.

y2

故点M的轨迹方程为x－＝1(x≤－1)．

8

2

y2

【答案】 x－＝1(x≤－1)

8

2

角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则

cos∠F1PF2＝________．

【解析】 由双曲线的定义有 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22， 所以|PF1|＝2|PF2|＝42， 则cos∠F1PF2＝

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

2|PF1|·|PF2|

3＝. 4

＝（42）2＋（22）2－42

2×42×22

3 4

【答案】

[迁移探究1] (变条件)将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

2|PF1|·|PF2|

1＝， 2

所以|PF1|·|PF2|＝8，

1

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝23.

2

→→

[迁移探究2] (变条件)将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2