改良版 - 大学物理计算题

2.5 已知质点沿x轴的运动方程x = f ( t) , 怎样求其位移和路程? 现有一质点按x = 3 t 2 - t 3 m 的规律运动。试求: (1) 画出x—t 图;

(2) 最初4s 内的位移; (3) 最初4s 内的路程。

（1）x?3t2?t3,v?dxdt?6t?3t,a?2dvdt?6?6t 4 -16 -24 -18 各时刻的数值如表所示。 t/s x/m v/(m.s-1) a/(m.s-2) 0 0 0 6 1 2 3 0 2 4 0 -6 3 0 -9 -12 （2）最初4s是指从t=0到t=4s的时间间隔，其位移为?x?x4?x0??16m

式中负号表示位移的方向与x轴正方向相反。若写成矢量式为

?????x?x4?x0??16im

(3)求路程时，应首先看有无速度反向点，若有，应求出速度反向的时刻和位置。

由v?dxdt?6t?3t2 a?dvdt?6?6t

令v=0，得t=2s,此时刻 v=0,a=-12ms2,即为反向点。此时的位置x2?4m。 则最初4s内的路程 s?x2?x0?x4?x2?4?20?24m

2.9 通过阅读、研究本章例题, 小结一下求解平均速度与瞬时速度的方法。今有

3

一质点沿y 轴的运动方程为y = 10 + 2t - 5 t m, 试求:

( 1) 1s～1.1s,1s～1.01s,1s～1.000 01s 各时间间隔的平均速度; ( 2) 当t = 1s 时的速度;

( 3) 通过上述计算, 如何领会瞬时速度和平均速度的关系与区别? ( 4) 求t = 1s 时的加速度, 并分析该质点的运动情况;

( 5) 本题能不能用v?(v?v0)2来计算平均速度? 为什么? 设t时刻 y?10?5t2 ①

t??t时刻 y??y?10?5?t??t?2

②

③

两式相减，得 ?y??10t?t?5?t2 故平均速度为 v??y?t??10t?5?t ④

则各时间间隔内的平均速度分别为

t?1s,?t?0.1st?1s,?t?0.01st?1s,?t?0.00001sv1??10.5ms v2??10.05msv3??10.00005ms （负号表示沿-j方向）

（2）由题意，y?10?5t2m，故由t?1s时的速度为 v?dydt??10t??10ms（方向沿?j方向）

（3）通过以上计算，可知平均速度与时间间隔?t有关，不同的时间段内的

平均速度是不同的，但当时间间隔?t越小时，平均速度就越趋近于瞬时速度。

（4）同理可求出t?1s时的加速度为 a? （5）平均速度v?dvdt??10ms2

v?v02只适用于匀变速直线运动（即a为常数），若a不等

于常数，就不能用此式来计算平均速度了。

2.11 一质点在xOy 平面上运动,运动方程为x = 5 t + 3 , y?12t?3t?42 式中t 以s 计，x、y 以m 计。

(1) 以时间t为变量, 写出质点位置矢量的表示式; (2) 描画质点的运动轨迹;

(3) 求出t = 1s 时刻和t = 2s 时刻的位置矢量和这段时间内质点的位移; (4) 求出质点速度的分量表示式, 计算t = 4s 时质点速度的大小和方向; (5) 求出质点加速度的分量表示式,计算t=4s 时质点加速度的大小和方向。

????12?[分析与解答] （1）r?xi?yj?(5t?3)i?(t?3t?4)j2 m

（2）轨迹方程为 y?（3）r1?8i???x250?2450x?28150

??1??j m;r2?13i?4j m; 2???1?????r?r2?r1?(13?8)i?(4?)j?5i?3.5j m

2??dx?dy??v?i?j?5i?(t?3)j (4)

dtdt则t=4s时， v4? ??arctanvyvx25?49?8.6ms

??arctan75?54.5

??dvx?dvy?i?j?j （5） a?dtdt则t=4s时，a4?1ms2（沿y轴正方向

2.13 地球绕太阳公转, 可近似看做是圆周运动, 速率为30km/s , 半径为

1.5?108km, 则ω= rad/s; 法向加速度的矢量表达式 an= , 其值为

2an= m/s。

[分析与解答] 由角量与线量关系v=R? 得 ??vR?30?108331.5?10?10v2??2?10?7rad/s

法向加速度的表达式 an?v2?Rn

法向加速度大小 an?R?(30?10)83231.5?10?10?6?10?3m/s

22.16 一张CD光盘音轨区域的内半径R1= 2.2cm,外半径为R2= 5.6cm,径向音轨密度为n= 650条/mm。在CD 唱机内,光盘每转一圈,激光头沿径向向外移动(扫描)一条音轨,激光束相对于光盘是以v =1.3m/s 的恒定速率运动的。试问: (1) 这张光盘的全部放音时间是多少?

(2) 当激光束到达离盘心r = 5cm 处时, 光盘转动的角速度和角加速度各是多少?

[分析与解答] (1)光盘上的音轨是一条间距很小的螺旋线(即阿基米德螺线)。为此，求其总长度时，可先求距光盘中心为r，宽度为dr内的音轨长度dl，即 dl?2?r?ndr

激光束扫过dl所需时间dt为 dt?故光盘的全部放音时间t为

t??2?r?ndrv

?dt??R22?rndrvR1?n?v(R2??222R21)?2650?10?3.141.333?[(5.6?10)?(2.2?10)]

2?4.16?10S?69.3min（2）由v??r得r=5.0cm处的?为

??vr?1.35?10?2?26rad/s,??d?dt??vdrrdt2??v232?nr??3.31rad/s

22.18 一水手在静水中能以v = 1.10m/s 的速度划船前进。今欲横渡一条宽为1000m, 水流速度u = 0.55m/s 的长江河段。试问:

(1) 他若要从出发点A 横渡, 并到达正对岸的B 点, 他应如何确定划行方向? 到达正对岸需要多少时间?

(2) 在划速不变的情况下, 如果希望用最短的时间过江, 他应如何确定划行方向? 船到达对岸的位置在何处?

解： 要使船能到达正对岸的B点，则必须使v?的方向垂直于对岸(即沿A-B的方向)，于是，船的滑行方向就必须沿与V成?角的方向才行。即

??arcsinuv?arcsin0.051.10?300

船到达B点所需的时间为 t?Dv??1000vcos30010001.10?323?1.05?10s?17.5min

（2）要使船过江所用的时间最短，在划速V不变的情况下，必须使v?有最大值。显然，此时v?u，则船过江的最短时间t,为t,???Dv?10001.10?909.1s?15.2min

设船到达下游的C点，则l?BC?ut'?0.55?909.1?500

2.23 已知质点在xOy 平面上的运动方程为r?(cos?ti?sin?tj)m, 试求: ( 1) 质点的运动轨迹; ( 2) t 时刻的速度v ; ( 3) t 时刻的加速度a。 [分析与解答]（1）已知

x?cos?t,y?sin?tx?y22????cos?t?sin22?t?1

????dr(2)v????sin?ti??cos?tjdt????dv222?(3)a????cos?ti??sin?tj???rdt

2.24 质点沿x 轴正向运动, 加速度与速度成正比, 且方向相反, 即a = - kv, k为常量, 设t = 0 时,v0?v0,x0?0 , 试求: ( 1) 质点的速度v( t) , 并加以讨论; ( 2) 质点的运动方程x( t)。

（1）质点作直线运动时 a?dvdt??kv

v得 ?dvvv0???kdt0t

积分并代入上、下限后得 lnvv0??kt

整理得 v?v0e?kt