2019年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(理科)

所以直线AF的斜率为kAF=

，

=-，因此直线AF的方程为y=-x+

由得C（-，p）；

由得D（，），

所以|FD|=+=，|CD|==p，

|AD|==p，

又|AD|=m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，

2

因此|PD|?|CD|=p≤32，当且仅当p=6时，取等号．

故答案为：32．

由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D两点坐标，即可用p表示出|FD|?|CD|，再由|AD|=m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．

本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题．

17.【答案】解：（I）∵Sn=an+n2-1，Sn+1=an+1+（n+1）2-1，

∴an+1=Sn+1-Sn=an+1-an+2n+1， ∴an=2n+1．

数列{bn}为等比数列，公比为q，a2=5b1． ∵5b1=a2=5，解得b1=1． ∵S5=qS2+3，

=（3+5）q+3，

解得q=4．

n-1

∴bn=4．

n-1

（II）∵an?bn=（2n+1）?4．

4+7×42+……+（2n+1）?4n-1． ∴Tn=3+5×

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4Tn=3×4+5×42+7×43+……+（2n-1）?4n-1+（2n+1）?4n．

n-1n2

∴-3Tn=3+2（4+4+……+4）-（2n+1）?4=3+2×

n

-（2n+1）?4n，

∴Tn=-+【解析】

?4．

22

（I）Sn=an+n-1，Sn+1=an+1+（n+1）-1，可得an+1=Sn+1-Sn=an+1-an+2n+1，化简即

可得出．数列{bn}为等比数列，公比为q，a2=5b1．解得b1=1．利用S5=qS2+3，

=（3+5）q+3，解得q．可得bn．

（II）∵an?bn=（2n+1）?4

n-1

．利用错位相减法即可得出．

本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.【答案】证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1中点，

连接OD，又D是棱B1C1的中点，∴OD∥AC1， ∵OD?平面A1BD，AC1?平面A1BD， ∴AC1∥平面A1BD．

解：（Ⅱ）由已知AB⊥AC，则AB，AC，AA1两两垂直， 以A为原点，如图建立空间直角坐标系A-xyz， 则B（

），A1（0，0，2），D（

，2），C（0，

，

0），

设M（0，a，0），（0则

=（-），

=（

），

，0），

=（0，a，-2），

设平面BA1D的法向量为=（x，y，z），

则，取z=1，得=（，1）．

设平面A1DM的法向量为=（x，y，z），

则，x=-2，得=（-2，2，a）．

∵二面角B-A1D-M的大小为45°， =|cos＜∴cos45°

＞|=

=

=，

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2

∴3a+16

-24=0，解得a=-6，∴a=

，

或a=，

∵0

∴存在点M，此时【解析】

=，使二面角B-A1D-M的大小为45°．

（Ⅰ）先连接AB1，交A1B于点O，再由线面平行的判定定理，即可证明AC1∥平面A1BD；

（Ⅱ）先由题意得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设M（0，a，0），（0

），求出两平面的法向量，根据法向量夹角

余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出a，进而可得出结果． 本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题，通常需要熟记线面平行的判定定理来证明平行；另外，向量法求二面角是最实用的一种做法，属于常考题型．

19.【答案】解：（Ⅰ）不妨设M（-2

k1=∴k1k2=-∴λ=． （Ⅱ）设联立

22

得（1+4k）x+8km+4m-4=0，

，m），N（2，m）

，k2==，

22

由题意△=16（4k+1-m）＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），

∴x1+x2=-∵k1k2=

?

，x1x2==

，

=-

∴4（kx1+m）（kx2+m）+3（x1-2）（x2-2）=0，

22

∴（4k+3）x1x2+（4km-6）（x1+x2）+4m+12=0，

2

∴（4k+3）?

+（4km-6）（-

2

）+4m+12=0，

22

∴2k+m+2km=0，

∴m=-k或m=-2k，均符合△＞0．

若m=-2k，直线MN：y=k（x-2）过A（2，0），与已知矛盾．

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∴m=-k，直线MN：y=k（x-1）过定点（1，0）． 【解析】

（Ⅰ）先由k=0，设设M（-2可求出结果；

（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到k，m的关系式，进而可得出直线所过的定点．

本题主要考查椭圆的简单性质，以及椭圆中直线过定点的问题，熟记椭圆的性质，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型． 20.【答案】解：（I）四月前10天订单中百合需求量众数为255，

平均数=

频率分布直方图补充如下：

=250．

，m），N（2

，m），表示出k1，k2，进而

（II）（1）由（I）频率分布直方图知， ξ分布列为 ξ P 235 0.1 245 0.3 255 0.4 265 0.2 （2）①235≤x＜245，x∈N ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x， ξ=245，Y=245×2-1.6x-1.8（245-x）=0.2x+49， ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51， ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53， E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（0.2x+49）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=0.2x+92.7 ②245≤x＜255，x∈N， ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x， ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x， ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51， ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，

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