2019年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(理科)

2019年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、

辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（理科）

副标题

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合，则（ ）

A. A?B B. B?A C. A∪B=R D. A∩B=? 2. 已知z-2=（z+2）i（i为虚数单位），则复数z=（ ）

A. 1+2i B. 1-2i C. 2i D. -2i

22

3. 过点P（0，1）的直线l与圆（x-1）+（y-1）=1相交于A，B两点，若|AB|=

，

则该直线的斜率为（ ）

1 2 A. ±B. C. D. ±

4. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，现

采用随机模拟的方法估计p的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为f，则p，f分别为（ ）

111 001 011 010 000 111 111 111 101 010 000 101 011 010 001 011 100 101 001 011

A. ，

5. 已知cos（

B.

C.

）=（ ）

D. ，

）=，则sin（2

A.

B. C. D.

x-x

6. 已知函数f（x）=e-e+

，若f（lgm）=3，则f（lg）=（ ）

A. -4 B. -3 C. -2 D. -1

7. 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，则直线

PB与平面PAC所成角为（ ）

A. B. C. D.

8. 将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）

的图象，且g（-x）=-g（x），则φ的一个可能值为（ ）

A.

9. 双曲线C：

B. C. D.

=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点

G满足GF1⊥GF2，H恰好为线段GF1的中点，线段GF1与另一条渐近线的交点为H，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4

第1页，共19页

10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，

赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3

个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF，则（ ）

A. C.

==

B. D.

==

11. 已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）

A.

B.

C.

D. 8π

12. 已知直线y=2x+m与椭圆C：=1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB

的面积取得最大值时，|AB|=（ ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f（x）=

，则f（f（-e））=______．

423

14. （x-y）（2x+y）的展开式中xy的系数是______．

15. 设△ABC的内角A，BC的对边分别为a，b，c，且b=6，c=4，A=2B，则a=______．

2

16. 以抛物线y=2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连结

FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|=m，且m∈[1，2]，则|FD|?|CD|的最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

2

17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=an+n-1，数列{bn}为等比数列，公比为q，

且S5=qS2+3，a2=5b1．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和Tn．

第2页，共19页

18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点．

（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BD；

BC=BB1=2，（Ⅱ）若AB=AC=，在棱AC上是否存在点M，

使二面角B-A1D-M的大小为45°，若存在，求出不存在，说明理由．

19. 椭圆C：

=1，点A（2，0），动直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，已

的值；若

知直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，且k1，k2的乘积为λ． （Ⅰ）若k=0，求实数λ的值； （Ⅱ）若

，求证：直线MN过定点．

20. 一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固

定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252．

（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率）： （1）写出四月后20天每天百合花需求量ξ的分布列；

（2）若百合花进货价格与售价均不变，微店从四月十一日起，每天从云南固定空运x（235≤x≤265，x∈N）支百合花，当x为多少时，四月后20天每天百合花销售利润T（单位：元）的期望值最大？

第3页，共19页

2

21. 已知函数f（x）=x+xlnx，g（x）=ax-2（a-1）x+a-1．

（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）与y=g（x）在（1，1）处的切线重合； （Ⅱ）若f（x）≤g（x）对任意x∈[1，+∞）恒成立． （1）求实数a的取值范围；

（2）求证：ln[（n+1）!?n!]＜

22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），以坐标原点

（其中n∈N*）．

2

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=

，直线l与曲线C交于A，B两点．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）求|AB|．

44

23. （Ⅰ）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，求证：a+b≥2；

333

（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求a+b+c+（

）的最小值，并写出取最

3

第4页，共19页