复变函数习题一解答

?x?t2i?1z?x?iy?t2?2??y?2t?t，即为双曲线xy?1中位于第一象限中的一支。?（4）

4．函数

w?1z将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线?z?x?iy,w?u?iv?？

22（1）y?x； （2）?x?1??y?1

解

w?x?y11xyu?,v???2?ix2?y2x2?y2，可得 zx?iyx?y2x2?y2，

u?（1）

xy???y?????vx2?y2x2?y2x2?y2是w平面上一直线；

（2）

?x?1?2?y2?1?x2?y2?2x?于是

u?x1?x2?y22，

12，是w平面上一平行与v轴的直线。

19．试证argz(???argz??)在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。

证 设f(z)?argz，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。 当z0为负实轴上的点时，即z0?x0(x0?0)，有

?y???arctan????xlim?x0?x?????y?0?limargz????yz?z0????lim??arctan?????x?x0?x???y?0?

所以

z?z0limargz不存在，即argz在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处

的连续性显然。 5． 设

?xy3?,f?z???x2?y6z?0?0,z?0 ?

求证f?z?在原点处不连接。

证 由于

x4x2limf?z??lim2?lim?0z?0x?0x?x6x?01?x4y?x

y61limf?z??lim6?z?0y?0y?y623x?y

可知极限z?0limf?z?it不存在，故f?z?在原点处不连接。

6．如果z?e，试证明

（1）

zn?11nz??2isinnt?2cosntnnzz； （2）

zn?1?eint?e?int?eint?eint?2sinntnz

解 （1）

（2）

zn?1?eint?e?int?eint?eint?2isinntnz

7．设z?x?iy，试证

x?y2?z?x?y。

证 由于

z?x2?y2?x?y?2xy?x?y22

z?x2?y2?及

2x2?y2?2??x2?y2?2xy2?x?y2

x?y2有

8．试证：复数z1，z2，z3，z4在同一圆周上或同一直线上的条件是

?z1?z4z3?z2??Im??z?z?z?z??0?1234?

?z?x?y 证明 设z1，z2，z3，z4四点共圆或共线，可知若记

argz1?z4??z1?z2

arg则

z3?z4????z3?z2，于是

?z1?z4z3?z2??z?zz?z???arg?14?34???arg???z?zz?z??z?zz?z??1234??1232?

z1?z4z3?z2?z1?z4z3?z2???Im???0?? 即z1?z2z3?z4=实常数，从而?z1?z2z3?z4?。