复变函数习题一解答

第一章习题解答

（一）

1．设z?1?3i，求z及Arcz。

2?解：由于z?1?3i?e?3i

2所以z?1，Arcz????2k?,k?0,?1,?。

32．设z1?1?i,z2?3?1，试用指数形式表示z1z2及z1。

2z2???ii1?i?e4,z2?3?i?2e6 解：由于z1?2?所以z1z2?e42e?4ii?i6??2e(?)i46????2e12

i???)iiz1e1(?154612??e?e。 ??iz2222e63．解二项方程z4?a4?0,(a?0)。

解：z??a?(ae)?ae222224414?i4??2k?4i,k?0,1,2,3。

4．证明z1?z2?z1?z2?2(z1?z2)2，并说明其几何意义。

证明：由于z1?z2 z1?z22?z1?z2?2Re(z1z2)

22?z1?z2?2Re(z1z2)

2 所以z1?z2?z1?z22?2(z1?z2)2

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z1，z2，z3三点适合条件：z1?z2?z3?0,z1?z2?z3?1。证明z1，z2，z3是内接于单位圆z?1的一个正三角形的顶点。 证 由于

z1?z2?z3?1，知?z1z2z3的三个顶点均在单位圆上。

1?z3?z3z33因为

????z1?z2?????z1?z2???z1z1?z2z2?z3z2?z1z2

?2?z1z2?z1z2

所以， z1z2?z1z2??1，

2又 z1?z2?(z1?z2)(z1?z2)?z1z1?z2z2?(z1z2?z2z1)

?2??z1z2?z1z2??3

故 同理

z1?z2?3，

z1?z3?z2?z3?3，知?z1z2z3是内接于单位圆z?1的一个正三角形。

6．下列关系表示点z的轨迹的图形是什么？它是不是区域。 （1） z?z1?z?z2,(z1?z2)； 解：点

z的轨迹是z与z12两点连线的中垂线，不是区域。

（2）z?z?4； 解：令z?x?yi

由x?yi?(x?4)?yi，即x2?y2?(x?4)2?y2，得x?2 故点

z的轨迹是以直线x?2为边界的左半平面（包括直线x?2）；不是区域。

z?1（3）z?1?1 解：令z?x?yi，

由z?1?z?1，得(x?1)2?(x?1)2，即x?0； 故点

z的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。

?4,且2?Rez?3；

（4）0?arg(z?1)?解：令z?x?yi

y??????0?y?x?1?0?arg(z?1)??0?arg由? 4，得?x?14，即?2?x?3???2?x?3?2?Rez?3?故点

z的轨迹是以直线x?2,x?3,y?0,y?x?1为边界的梯形（包括直线

；不是区域。 x?2,x?3；不包括直线y?0,y?x?1）（5）z?2,且z-3?1； 解：点

z的轨迹是以原点为心，2为半径，及以z?3为心，以1为半径的两闭

圆外部，是区域。

（6）Imz?1,且z?2； 解：点

z的轨迹是位于直线Imz?1的上方（不包括直线Imz?1），且在

?4；

以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。 （7）z?2,且0?argz?解：点

z的轨迹是以正实轴、射线argz??及圆弧z?1为边界的扇形（不包

4i131?,且z?i? 2222括边界），是区域。 （8）z?解：令z?x?yi

?i11?2z??x?(y?)???22??2由?，得??x2?(y?3)??z?3i?1???222?故点

14 14z的轨迹是两个闭圆x21131?(y?)?,x2?(y?)?的外部，是区域。

24247．证明：z平面上的直线方程可以写成az?az?C（a是非零复常数，C是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为

Ax?By?C将

11x?Rez?(z?z),y?Imz?(z?z)代入，得

22i11(A?iB)z?(A?iB)z?C22

a?11(A?iB)a?(A?iB)22，则，上式即为az?az?C。

令

反之：将z?x?yi,z?x?yi，代入az?az?C 得(a?a)x?(ia?ia)y?c 则有

Ax?By?C；即为一般直线方程。

8．证明：

z平面上的圆周可以写成

Azz??z??z?c?0.

其中A、C为实数，A?0,?为复数，且??AC。 证明：设圆方程为

2A(x2?y2)?Bx?Dy?C?0

其中A?0,当B2?D2?4AC时表实圆；

11(z?z),y?(z?z)代入，得 将x?y?zz,x?22i22Azz?11(B?Di)z?(B?Di)z?c?0 22即Azz??z??z?c?0. 其中??11(B?Di),??(B?Di) 22112且??(B2?D2)??4AC?AC；

44反之：令z?x?yi,??a?bi代入Azz??z??z?c?0(??AC) 得A(x2?y2)?Bx?Dy?C?0,其中B?2a,B?2b 即为圆方程。

3．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。 （1）

2z?(1?i)t； （2）z?acost?ibsint；

z?t?（3）

iiz?t2?2t； （4）t，

?x?tz?x?iy?(1?i)t??,???t??y?t?解（1）。即直线y?x。

?x?acostz?x?iy?acost?ibsint??,y?bsint?（2）

0?t?2?x2y2?2?12ab，即为椭圆；

t?i?x?1z?x?iy?t???y?t?t，即为双曲线xy?1； ?（3）