(新课标)高考数学二轮复习作业手册 第6B讲 导数及其应

122

10．h(0)

1312135

＋a，g(x)＝x＋b，其中a，b为常数，故h(x)＝x－x＋a－b，故h(－1)＝＋a－b，h(0)

3236

1

＝a－b，h(1)＝＋a－b，所以h(0)

6

?1?11.?－，＋∞? [解析] 题目中的条件等价于y＝g(x)的最大值大于或者等于f(x)的最?e?

xxx小值．f′(x)＝xe＋e＝(x＋1)e，显然x＝－1是函数f(x)的极小值点也是最小值点，故

1

f(x)min＝f(－1)＝－e－1，函数g(x)的最大值为a，故只要a≥－即可，故a的取值范围为

e

?－1，＋∞?. ?e???55π2

－ [解析] f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＝2(a1＋a2＋a3)－cos a1－cos a2－cos a3＝22

π?π???6a2－cos?a2－?－cos a2－cos?a2＋?＝6a2－(1＋2)cos a2.令g(x)＝6x－(1＋2)cos x，4?4???

可得函数g(x)在R上单调递增．

ππnπ?π?又f??＝3π，f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＝3π，所以a2＝，所以a1＝，所以an＝. 244?2?

π

所以f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝(1＋2＋…＋10)×－

2

12.

?cos π＋cos π＋…＋cos 10π?＝55π－cos π＝55π－2. ??424?2422?

13．解：(1)将x＝－1代入切线方程得y＝－2，

b－a∴f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－4，①

1＋1

a（x2＋1）－（ax＋b）·2x又f′(x)＝， 22

（1＋x）

2a＋2（b－a）2bb∴f′(－1)＝＝＝＝－1，②

442

由①②解得a＝2，b＝－2，

2x－2

∴f(x)＝2. x＋1

2x－2

(2)证明：要证g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立，即证ln x≥2在x∈[1，＋∞)

x＋1

上恒成立，

2

化简得xln x＋ln x≥2x－2，

2

即证xln x＋ln x－2x＋2≥0在[1，＋∞)上恒成立，

2

令h(x)＝xln x＋ln x－2x＋2，

1

则h′(x)＝2xln x＋x＋－2.

x1

∵x≥1，∴x＋≥2，2xln x≥0，∴h′(x)≥0，

x∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(1)＝0，

2

∴xln x＋ln x－2x＋2≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．

12

14．解：(1)令F(x)＝f(x)－g(x)＝x－aln x(a>0，x>0)，

4

- 5 -

xax2－2a∴F′(x)＝－＝.令F′(x)＝0得x＝2a，

2x2x当x∈(0，2a)时，F′(x)<0，F(x)在x∈(0，2a)上单调递减；

当x∈(2a，＋∞)时，F′(x)>0，F(x)在x∈(2a，＋∞)上单调递增．

因此F(x)在x＝2a时取得最小值，要使f(x)≥g(x)恒成立，只需F(2a)≥0，即－aln

2

e

2a≥0，解得a≤.

2e

又a>0，∴0

2

e12e2ln x1

(2)证明：根据(1)取a＝，则有x≥ln x，化简得2≤，

242xe

2ln 212ln 312ln 412ln n1

分别令x＝2，3，4，…，n，得2≤，2≤，2≤，…，2≤，叠加，2e3e4ene

2ln 22ln 32ln 42ln nn－1得2＋2＋2＋…＋2≤.

234ne

2

a2x＋2x＋a2

15．解：(1)由f(x)＝x＋aln(x＋1)可得f′(x)＝2x＋＝(x>－1)．

x＋1x＋112

令g(x)＝2x＋2x＋a(x>－1)，则其对称轴为直线x＝－，故由题意可知x1，x2是方程g(x)

2??Δ＝4－8a>0，1

＝0的两个均大于－1的不相等的实数根，其充要条件为?解得0

2?g（－1）＝a>0，?

2

2x＋2x＋a2（x－x1）（x－x2）

f′(x)＝＝，其中－1

x＋1x＋1

当x∈(－1，x1)时，f′(x)>0，即f(x)在区间(－1，x1)上单调递增；当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，即f(x)在区间(x1，x2)上单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在区间(x2，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)可知f(x)在区间(x1，＋∞)上的最小值为f(x2)．

1

又由于g(0)＝a>0，因此－

2

22

又由g(x2)＝2x2＋2x2＋a＝0可得a＝－(2x2＋2x2)，

222

从而f(x2)＝x2＋aln(x2＋1)＝x2－(2x2＋2x2)ln(x2＋1)．

122

设h(x)＝x－(2x＋2x)ln(x＋1)，其中－

2

则h′(x)＝2x－2(2x＋1)ln(x＋1)－2x＝－2(2x＋1)ln(x＋1)．

1?1?由－0，ln(x＋1)<0，故h′(x)>0，故h(x)在?－，0?上单调递增． 2?2?

?1?1－2ln 2. 所以f(x2)＝h(x2)>h?－?＝

4?2?

1－2ln 2

所以，实数m的取值范围为m≤. 4

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