（新课标）高考数学二轮复习作业手册 第6B讲 导数及其应用 理

专题限时集训(六)B

[第6讲 导数及其应用]

(时间：45分钟)

1．已知函数f(x)＝ax－x，对区间(0，1)上的任意x1，x2，且x1x2

－x1成立，则实数a的取值范围为( )

A．(0，1) B．[4，＋∞) C．(0，4] D．(1，4]

2．定义在R上的可导函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[0，2]

1716x时，f(x)＝e＋xf′(0)，则f与f的大小关系是( )

223716716A．f>f B．f＝f 2323716

C．f

23

x3．已知函数f(x)＝2－1，对于满足0

f（x1）＋f（x2）x1＋x2

－f(x1)]<0；②x2f(x1)x2－x1；④>f.其中正

22

确结论的序号是( )

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

1

4．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式2

2

x＋1f(x2)>的解集为( )

2

A．(1，2) B．(0，1)

C．(1，＋∞) D．(－1，1) 5．函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则( ) A．3f(2ln 2)>2f(2ln 3) B．3f(2ln 2)<2f(2ln 3) C．3f(2ln 2)＝2f(2ln 3)

D．3f(2ln 2)与2f(2ln 3)的大小不确定

6．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)

x为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)

A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 7．定义在区间[0，a]上的函数f(x)的图像如图X6－1所示，记以A(0，f(0))，B(a，f(a))，C(x，f(x))为顶点的三角形的面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的图像大致是( )

3

图X6－1

- 1 -

图X6－2

ln x8．已知f(x)＝－ln x，f(x)在x＝x0处取得最大值，以下各式正确的序号为( )

1＋x11

①f(x0)x0；④f(x0)<；⑤f(x0)>.

22

A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤

11x－x9．若函数y＝e－e－3x－≤x≤的图像上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小

22

值是( )

5π3πππA. B. C. D.

6446

10．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系内的图像如图X6－3所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为________________(用“<”联结)．

图X6－3 11．已知f(x)＝xe，g(x)＝－(x＋1)＋a.若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．

π

12．设函数f(x)＝2x－cos x，数列{an}是公差为的等差数列，且f(a1)＋f(a2)＋f(a3)

4

＝3π，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝______________．

ax＋b13．已知函数f(x)＝2在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.

x＋1

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝ln x，求证：g(x)≥f(x)在x∈[1，＋∞)上恒成立．

12

14．已知函数f(x)＝x.

4

(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，其中g(x)＝aln x(a>0)，求实数a的取值范围；

x2

- 2 -

2ln 22ln 32ln 42ln nn－1

(2)求证：2＋2＋2＋…＋2≤(其中e是自然对数的底数，n≥2，

234ne

n∈N*)．

2

15．设函数f(x)＝x＋aln(x＋1)有两个极值点x1，x2，且x1

(2)若对任意的x∈(x1，＋∞)，都有f(x)>m成立，求实数m的取值范围．

专题限时集训(六)B

1．B [解析] 问题等价于函数g(x)＝f(x)－x在(0，1)上为增函数，即g′(x)＝a－122

－3x≥0，即a≥1＋3x在(0，1)上恒成立，则a≥4，所以实数a的取值范围是[4，＋∞)．

2．C [解析] 对f(－x)＝f(x)两边求导得－f′(－x)＝f′(x)，由此得f′(0)＝0，所

x

以f(x)＝e，x∈[0，2]．由f(x－2)＝f(x＋2)可得f(x)＝f(x＋4)，即4为函数f(x)的一个

?7??1??1?f?16?＝f?4?，?1??4?所以f?7?

周期．f??＝f?－?＝f??，根据指数函数的性质得f??

f（x）

3．D [解析] 函数f(x)单调递增，故①不正确；构造函数g(x)＝，x∈(0，2)，

x

xxx

2ln 2·x－2＋12（xln 2－1）＋1x

则g′(x)＝＝，令h(x)＝2(xln 2－1)＋1，则h′(x)22xx

x2xxx2

＝x·2ln2－2ln 2＋2ln 2＝x·2ln 2，h′(x)在(0，2)上恒大于0，则h(x)>h(0)＝0，

f（x1）f（x2）

∴g′(x)>0在(0，2)上恒成立．故<，即x2f(x1)

x1x2

f(x1)－x1

f（x1）＋f（x2）11x1＋x2?x1＋x2?，故④正确；＝(2x1－1＋2x2－1)>(2 2x12x2－2)＝2－1＝f??2222?2?正确．

1

4．D [解析] 构造函数g(x)＝f(x)－x＋c(c为常数)，则g′(x)<0，即函数g(x)在R

2

11x2＋112112122

上单调递减，且g(1)＝f(1)－＋c＝＋c.又f(x)>＝x＋，即f(x)－x＋c>＋c，

2222222

22

即g(x)>g(1)，即x<1，所以－1

111

f′（x）ex－f（x）ex222f（x）

5．B [解析] 构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝

12

?e1x?ex?2?2??

- 3 -

2f′（x）－f（x）f（2ln 2）

>0，函数g(x)在R上单调递增，所以g(2ln 2)

1e2ex2

f（2ln 3）f（2ln 2）f（2ln 3）<，即<，即3f(2ln 2)<2f(2ln 3)． ln 3

e23

6．B [解析] 因为y＝f(x＋2)为偶函数，所以y＝f(x＋2)的图像关于直线x＝0对称，

f（x）

所以y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(0)＝f(4)＝1.设g(x)＝(x∈R)，则xe

f′（x）ex－f（x）exf′（x）－f（x）

g′(x)＝＝， 2xxee

又f′(x)0时，g(x)

e

7．D [解析] 方法一：由于AB的长度为定值，只要考虑点C到直线AB的距离的变化趋势即可．当x在区间[0，a]变化时，点C到直线AB的距离先是递增、然后递减、再递增、再递减，S′(x)的图像先是在x轴上方、再到x轴下方、再回到x轴上方、再到x轴下方，并且函数在直线AB与函数图像的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D中的图像符合要求．

方法二：选用特殊的函数f(x)＝sin x＋2，x∈[0，2π]．当x∈[0，π]时，S(x)＝πsin x，此时S′(x)＝πcos x；当x∈(π，2π]时，S(x)＝π(2－sin x)，此时S′(x)＝－πcos x．S′(x)图像如图．故选D.

x＋1

－ln x2x1x＋1－xln x1x＋1－xln x－（x＋1）

8．B [解析] f′(x)＝－＝＝2－＝2

（x＋1）x（x＋1）2xx（x＋1）x2

－xln x－x－xln x＋x＋1

＝－22.

（x＋1）x（x＋1）

－2－2

令g(x)＝ln x＋x＋1，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(e)＝－2＋e＋1<0，

1133－ln 4

>0，所以函数g(x)存在零点x0，且在(0，x0)上，g(x0)<0，

2222

在(x0，＋∞)上，g(x0)>0，所以在(0，x0)上，f′(x)>0，在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，故xln x0

＝x0是函数f(x)的唯一的极大值点也是最大值点．ln x0＋x0＋1＝0，所以f(x0)＝－ln x0

1＋x0

1

＝－1＋x0＋1＝x0，且x0<. 2

?1??1?9．B [解析] f′(x)＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当x＝0时取等号，而f′??＝f′?－??2??2?

11?1??1?＝e＋e－－3<2＋1－3＝0，又f′(x)在?－，0?上单调递减；在?0，?上单调递增．所以22?2??2?

3π

α取得最小值时的曲线切线的斜率值为－1，此时α＝.

4

g??＝ln ＋＋1＝－ln 2＝2

?1???

- 4 -