中考数学易错题专题训练-直角三角形的边角关系练习题及答案解析

∵EG为切线， ∴∠KGE+∠OGA=90°， ∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°， 又∵OA=OG， ∴∠OGA=∠OAG， ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE， ∴KE=GE． ∵sinE=sin∠ACH=

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t， ∵KE=GE，AC∥EF， ∴CK=AC=5t， ∴HK=CK-CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2， 即（3t）2+t2=（2

）2，解得t=

．

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH2+CH2=OC2， 即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r=∵EF为切线，

∴△OGF为直角三角形， 在Rt△OGF中，OG=r=

，tan∠OFG=tan∠CAH=

，

t=

．

∴FG=

【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6

cm．

（1）AE的长为 cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离．

【答案】（1）【解析】

；（2）12cm；（3）

cm．

试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6

cm，∴AC=12cm．

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=

cm．

（cm）．

（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离． 试题解析：解：（1）

．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°， ∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°． ∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′． ∴点E，D′关于直线AC对称．

如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′． ∵△ADE是等边三角形，AD=AE=∴

，

，即DP+EP最小值为12cm．

（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G， ∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′， ∵AE=EC，∴AD′=CD′=

．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′cm，

，

（不合题意舍去）． cm．

（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB． 设D′G长为xcm，则CG长为在Rt△GD′C中，由勾股定理得解得：

∴点D′到BC边的距离为

考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．

?. 4．如图，已知，在eO中，弦AB与弦CD相交于点E，且?AC?BD（1）求证：AB?CD；

（2）如图，若直径FG经过点E，求证：EO平分?AED；

?上，连接FP交AB于点M，连接MG，若（3）如图，在（2）的条件下，点P在CGAB?CD，MG平分?PMB，MG?2，?FMG的面积为2，求eO的半径的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）eO的半径的长为10. 【解析】 【分析】

(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；

（2）连接AO、DO，过点O作OJ?AB于点J，OQ?CD于点Q，证明

?AOJ??DOQ得出OJ?OQ，根据角平分线的判定定理可得结论；

（3）如图，延长GM交eO于点H，连接HF，求出FH?2，在HG上取点L，使

HL?FH，延长FL交eO于点K，连接KG，求出FL?22，设HM?n，则有LK?KG?22n，FK?FL?LK?22?n，再证明22?KFG??EMG??HMF，从而得到tan?KFG?tan?HMF，

LK和FK的值可得n=4,再求得FG的长，最后得到圆的半径为10． 【详解】

KGHF?，再代入FKHM?，∴???BD??CB?， 解：（1）证明：∵?AC?BDAC?CB∴?AB??CD， ∴AB?CD.

（2）证明：如图，连接AO、DO，过点O作OJ?AB于点J，OQ?CD于点Q，